Uma corrente alternada senoidal tem a seguinte expressão analítica, calcule:
i(t)=10 \cdot \sin (157 t+\varphi)
a) O valor de pico desta corrente;
b) O valor eficaz desta corrente;
c) A velocidade angular;
d) A frequência.

Passo 1

O enunciado dá a corrente senoidal
i(t)=10\cdot\sin(157\,t+\varphi)
e pede quatro coisas:
a) o valor de pico (amplitude) desta corrente;
b) o valor eficaz (RMS) desta corrente;
c) a velocidade angular;
d) a frequência.
Informações relevantes que temos (pegas do enunciado):
  • A forma padrão de uma senóide é \,i(t)=A\sin(\omega t+\varphi), onde A é a amplitude (valor de pico), \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}) e \varphi é a fase (em radianos).
  • No enunciado, o coeficiente do seno na frente de t é 157, e o multiplicador fora do seno é 10.

Passo 2

Determinar o valor de pico (amplitude).
Explicação didática: para uma função do tipo \,i(t)=A\sin(\omega t+\varphi), o termo A é a amplitude ou valor de pico — isto é, o maior valor absoluto que a corrente atinge (positivo ou negativo), porque \sin varia entre -1 e 1. Portanto o valor de pico é simplesmente |A|.
Aplicando ao problema: aqui A=10. Logo o valor de pico é
\text{valor de pico} = 10\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Determinar o valor eficaz (RMS).
Aula rápida: o valor eficaz (RMS, root mean square) de uma corrente periódica i(t) é definido por
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t},
onde T é o período. Para uma senoide pura \,i(t)=A\sin(\omega t+\varphi) existe uma identidade trigonométrica útil:
\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}.
Usando essa identidade e integrando ao longo de um período, o termo com \cos(2x) faz média zero, então o resultado é bem simples:
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T A^2\sin^2(\omega t+\varphi)\,\mathrm{d}t} = \sqrt{A^2\cdot\frac{1}{T}\int_0^T \frac{1-\cos(2(\omega t+\varphi))}{2}\,\mathrm{d}t} = \sqrt{A^2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}.
Explicando em palavras: a média de \sin^2 ao longo de um período vale 1/2.
Aplicando ao problema com A=10:
I_{\text{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx 7,07\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Determinar a velocidade angular \omega.
Aula rápida: na forma padrão \,i(t)=A\sin(\omega t+\varphi), o número \omega multiplicando t é a velocidade angular, medida em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}). No enunciado o coeficiente de t é 157, portanto
\omega=157\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Determinar a frequência f.
Aula rápida: a relação entre velocidade angular \omega e frequência f (em hertz) é
\omega = 2\pi f \quad\Longrightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi}.
Usando \omega=157:
f=\frac{157}{2\pi}\\ \text{Hz}.
Valor numérico aproximado (aproximando \pi\approx 3,14159):
f\approx \frac{157}{6,28318}\\ \text{Hz}\approx 25{,}0\\ \text{Hz}.
(Observação: frequentemente 157 é próximo de 50\pi\approx157{,}08, daí f fica muito próximo de 25\\ \text{Hz}.)

Passo 6

Resumo rápido (para decorar na prova): amplitude é o número multiplicando o seno; RMS da senoide é amplitude dividida por \sqrt{2}; \omega é o coeficiente do t; e f=\omega/(2\pi).

Resposta

\text{a)}\;10\\ \mathrm{A}
\text{b)}\;\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx 7{,}07\\ \mathrm{A}
\text{c)}\;157\\ \mathrm{rad/s}
\text{d)}\;\dfrac{157}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 25{,}0\\ \text{Hz}

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