Com relação a expressão abaixo, determine:
u(t)=220 \sqrt{2} \cdot \sin \left(100 \pi \cdot t+\frac{\pi}{4}\right)
O valor eficaz da tensão;

Passo 1

O enunciado dá a tensão senoidal
u(t)=220\sqrt{2}\,\sin\!\left(100\pi\,t+\frac{\pi}{4}\right).
O que se pede: determinar o valor eficaz (RMS) da tensão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude (valor de pico) é \hat{U}=220\sqrt{2}.
  • A frequência angular é \omega=100\pi (não será necessária para o RMS).
  • A fase é \varphi=\dfrac{\pi}{4} (não influencia o RMS).

Passo 2

Definição (fórmula) do valor eficaz para um sinal periódico u(t):
U_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u^{2}(t)\,dt},
onde T é o período do sinal e U_{\text{ef}} é o valor eficaz (RMS). Explicando as variáveis:
  • u(t) é a tensão no tempo t.
  • T é o tempo que o sinal leva para repetir (período).
  • A integral calcula a média do quadrado da tensão ao longo de um período; a raiz volta ao mesmo escalonamento da tensão.

Passo 3

Substituindo a forma senoidal geral por \hat{U}\sin(\cdot): aqui \hat{U}=220\sqrt{2}. Então
u^{2}(t)=\hat{U}^{2}\sin^{2}\!\big(\omega t+\varphi\big).
Portanto, pela definição do RMS,
U_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\hat{U}^{2}\sin^{2}\!\big(\omega t+\varphi\big)\,dt} =\hat{U}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}\!\big(\omega t+\varphi\big)\,dt}.

Passo 4

Calcular a média de \sin^{2}. Usando a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},
temos
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}\!\big(\omega t+\varphi\big)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos\big(2\omega t+2\varphi\big)}{2}\,dt.
A média do termo constante \tfrac{1}{2} é \tfrac{1}{2}. O termo com \cos(2\omega t+2\varphi) tem média zero ao longo de um período inteiro (pois é uma função senoidal completa). Logo
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}\!\big(\omega t+\varphi\big)\,dt=\frac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo no RMS:
U_{\text{ef}}=\hat{U}\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}.
Agora inserindo \hat{U}=220\sqrt{2}:
U_{\text{ef}}=\frac{220\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=220.
Unidade: volts.

Resposta

220\\ \text{V}

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