(a) A corrente
associada a uma carga
que se move em círculos com uma frequência
é
. Determine a corrente associada a um elétron que se encontra na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio. (b) O momento magnético de uma espira percorrida por corrente é
, onde
é a área da espira. Calcule o momento magnético do elétron na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio em unidades de
. Este momento magnético é conhecido como magnéton de Bohr. (Ex. 40)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a corrente associada a um elétron que se move na primeira órbita de Bohr, usando a relação
. - (b) Calcular o momento magnético da espira formada por esse movimento (
), onde é a área da órbita. Esse valor corresponde ao magnéton de Bohr.
Informações e constantes que vamos usar (valores em SI):
O que precisamos encontrar explicitamente:
- a frequência de revolução
do elétron na órbita 1, - a corrente
, - a área
com sendo o raio da primeira órbita, - o momento magnético
.
Passo 2
Primeiro precisamos do raio da primeira órbita (raio de Bohr)
. Vou derivar a expressão e explicar cada passo de maneira simples.
- Equilíbrio das forças (força centrípeta fornecida pela força coulombiana):
Aqui
é a massa do elétron,
sua velocidade e
o raio da órbita.
- Condição de quantização de momento angular (Bohr):
Para a primeira órbita
, então
.
Agora eliminamos
: da condição de momento angular temos
. Substituindo na equação de forças:
Simplificando:
Isolando
:
Essa expressão é o raio de Bohr
. Substituindo os valores numéricos:
Calculando (mostro o resultado usado):
Esse é o valor padrão conhecido do raio de Bohr.
Passo 3
Agora vamos obter a velocidade do elétron na primeira órbita. Podemos usar a expressão da quantização:
Substituindo os valores:
Fazendo a conta obtemos (valor aproximado):
Comentário prático: isso é cerca de
, bem menor que a velocidade da luz, como esperado.
Passo 4
A frequência de revolução
é o número de voltas por segundo:
Substituindo os valores calculados:
Calculando obtemos:
Passo 5
Agora aplicamos
. Para a magnitude da corrente usamos
:
Substituindo:
O produto dá:
Observação física rápida (didática): o elétron tem carga negativa, então a corrente real (direção convencional) é oposta ao sentido do deslocamento do elétron; aqui reportamos a magnitude da corrente.
Passo 6
Agora o momento magnético da espira formada pelo elétron é
, com
. Faço uma manipulação algébrica útil que evita re-calcular todas as coisas numericamente e mostra por que aparece a constante universal chamada magnéton de Bohr.
Começando de
Como
, temos
Usando a quantização do momento angular
obtemos
Essa expressão é exatamente o magnéton de Bohr:
Agora substituímos os valores numéricos:
Calculando:
Resposta
(a)
(b)