(a) A corrente i associada a uma carga q que se move em círculos com uma frequência \mathrm{f}_{\text {rev }} é \mathrm{qf}_{\text {rev }}. Determine a corrente associada a um elétron que se encontra na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio. (b) O momento magnético de uma espira percorrida por corrente é i A, onde A é a área da espira. Calcule o momento magnético do elétron na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio em unidades de \mathrm{A}-\mathrm{m}^{2}. Este momento magnético é conhecido como magnéton de Bohr. (Ex. 40)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a corrente associada a um elétron que se move na primeira órbita de Bohr, usando a relação \mathrm{i}=\mathrm{q}\,\mathrm{f}_{\text{rev}}.
  • (b) Calcular o momento magnético da espira formada por esse movimento ( \mu=\mathrm{i}A), onde A é a área da órbita. Esse valor corresponde ao magnéton de Bohr.
Informações e constantes que vamos usar (valores em SI):
e = 1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C}
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}
m_{e} = 9,1093837015\times10^{-31}\,\mathrm{kg}
k_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8,9875517923\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
O que precisamos encontrar explicitamente:
  • a frequência de revolução \mathrm{f}_{\text{rev}} do elétron na órbita 1,
  • a corrente \mathrm{i}=e\,\mathrm{f}_{\text{rev}},
  • a área A=\pi r_{1}^{2} com r_{1} sendo o raio da primeira órbita,
  • o momento magnético \mu=\mathrm{i}A.

Passo 2

Primeiro precisamos do raio da primeira órbita (raio de Bohr) r_{1}=a_{0}. Vou derivar a expressão e explicar cada passo de maneira simples.
  • Equilíbrio das forças (força centrípeta fornecida pela força coulombiana):
\frac{m_{e}v^{2}}{r} = \frac{k_e e^{2}}{r^{2}}.
Aqui m_{e} é a massa do elétron, v sua velocidade e r o raio da órbita.
  • Condição de quantização de momento angular (Bohr):
m_{e} v r = n\hbar.
Para a primeira órbita n=1, então m_{e} v r = \hbar.
Agora eliminamos v: da condição de momento angular temos v=\dfrac{\hbar}{m_{e}r}. Substituindo na equação de forças:
\frac{m_{e}}{r}\left(\frac{\hbar}{m_{e}r}\right)^{2} = \frac{k_e e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando:
\frac{\hbar^{2}}{m_{e} r} = k_e e^{2}.
Isolando r:
r_{1} = \frac{\hbar^{2}}{m_{e} k_e e^{2}}.
Essa expressão é o raio de Bohr a_{0}. Substituindo os valores numéricos:
r_{1} = \frac{(1,054571817\times10^{-34})^{2}}{(9,1093837015\times10^{-31})(8,9875517923\times10^{9})(1,602176634\times10^{-19})^{2}}.
Calculando (mostro o resultado usado):
r_{1} = 5,29177210903\times10^{-11}\,\mathrm{m}.
Esse é o valor padrão conhecido do raio de Bohr.

Passo 3

Agora vamos obter a velocidade do elétron na primeira órbita. Podemos usar a expressão da quantização:
v_{1} = \frac{\hbar}{m_{e} r_{1}}.
Substituindo os valores:
v_{1} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{(9,1093837015\times10^{-31})(5,29177210903\times10^{-11})}.
Fazendo a conta obtemos (valor aproximado):
v_{1} = 2,187691263\times10^{6}\,\mathrm{m/s}.
Comentário prático: isso é cerca de 2{,}19\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, bem menor que a velocidade da luz, como esperado.

Passo 4

A frequência de revolução \mathrm{f}_{\text{rev}} é o número de voltas por segundo:
\mathrm{f}_{\text{rev}} = \frac{v_{1}}{2\pi r_{1}}.
Substituindo os valores calculados:
\mathrm{f}_{\text{rev}} = \frac{2,187691263\times10^{6}}{2\pi\,(5,29177210903\times10^{-11})}.
Calculando obtemos:
\mathrm{f}_{\text{rev}} = 6,5796839207\times10^{15}\,\mathrm{Hz}.

Passo 5

Agora aplicamos \mathrm{i}=q\,\mathrm{f}_{\text{rev}}. Para a magnitude da corrente usamos |q|=e:
\mathrm{i} = e\,\mathrm{f}_{\text{rev}}.
Substituindo:
\mathrm{i} = (1,602176634\times10^{-19})(6,5796839207\times10^{15}).
O produto dá:
\mathrm{i} = 1,054571817\times10^{-3}\,\mathrm{A}.
Observação física rápida (didática): o elétron tem carga negativa, então a corrente real (direção convencional) é oposta ao sentido do deslocamento do elétron; aqui reportamos a magnitude da corrente.

Passo 6

Agora o momento magnético da espira formada pelo elétron é \mu = \mathrm{i}A, com A=\pi r_{1}^{2}. Faço uma manipulação algébrica útil que evita re-calcular todas as coisas numericamente e mostra por que aparece a constante universal chamada magnéton de Bohr.
Começando de
\mu = \mathrm{i} \pi r_{1}^{2} = e\,\mathrm{f}_{\text{rev}} \pi r_{1}^{2}.
Como \mathrm{f}_{\text{rev}}=\dfrac{v_{1}}{2\pi r_{1}}, temos
\mu = e\left(\frac{v_{1}}{2\pi r_{1}}\right)\pi r_{1}^{2} = \frac{e v_{1} r_{1}}{2}.
Usando a quantização do momento angular m_{e}v_{1}r_{1}=\hbar obtemos
\mu = \frac{e}{2m_{e}}\hbar.
Essa expressão é exatamente o magnéton de Bohr:
\mu_{B} = \frac{e\hbar}{2m_{e}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
\mu_{B} = \frac{(1,602176634\times10^{-19})(1,054571817\times10^{-34})}{2(9,1093837015\times10^{-31})}.
Calculando:
\mu_{B} = 9,274009994\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle i = 1,054571817\times10^{-3}\,\mathrm{A}
(b) \displaystyle \mu = 9,274009994\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^{2}}

Exercícios relacionados