Um objeto, cuja emissão de radiação térmica se dá aproximadamente como a de um corpo negro, é mantido à temperatura de
.
a) O máximo da emissão de radiação térmica ocorre para qual comprimento de onda?
b) Para qual temperatura devemos aquecer este objeto para que seu pico de radiação térmica esteja na região do vermelho,
?
c) Quantas vezes mais radiação térmica é emitida nesta temperatura mais alta?
a) O máximo da emissão de radiação térmica ocorre para qual comprimento de onda?
b) Para qual temperatura devemos aquecer este objeto para que seu pico de radiação térmica esteja na região do vermelho,
c) Quantas vezes mais radiação térmica é emitida nesta temperatura mais alta?
Passo 1
O enunciado dá um objeto que emite radiação térmica aproximadamente como um corpo negro e está mantido à temperatura de
. Ele pede três coisas:
- (a) Qual o comprimento de onda no qual ocorre o máximo da emissão (pico) para essa temperatura?
- (b) Para que temperatura o pico fique em
(região do vermelho)? - (c) Quantas vezes maior é a radiação total emitida nessa temperatura mais alta (do item b) em comparação com a emissão à temperatura inicial?
Informações dadas que vamos usar:
- Temperatura inicial:
. - Comprimento de interesse no item (b):
.
Passo 2
Conceito e fórmula útil para (a): a lei de deslocamento de Wien diz que o produto entre o comprimento de onda do pico
e a temperatura absoluta
é constante:
onde
é a constante de Wien. Uma explicação curta do que isso significa: à temperatura mais alta, o pico da curva espectral desloca-se para comprimentos de onda menores (mais azul); à temperatura mais baixa, desloca-se para comprimentos maiores (mais infravermelho). A constante experimentalmente determinada vale aproximadamente
Antes de usar a fórmula, convertemos a temperatura inicial de Celsius para Kelvin. A relação é
Para
temos
Agora aplicamos a lei de Wien para achar
na temperatura
:
Substituindo números:
Fazendo a divisão (mostro o raciocínio numérico):
. Convertendo para unidades mais familiares:
Interpretação curta: o pico está na região do infravermelho médio (cerca de
), por isso objetos à temperatura ambiente não parecem “quentes” no visível.
Passo 3
Parte (b): queremos a temperatura
tal que o pico esteja em
. Usamos a mesma lei de Wien, resolvendo para
:
Primeiro convertemos
para metros:
Agora calculamos
Fazendo a divisão:
Se quiser em graus Celsius:
Interpretação: para o pico em
precisamos aquecer o objeto a umas poucas milhares de kelvin — temperaturas de estrela fria ou de filamento incandescente, muito acima de temperaturas comuns.
Passo 4
Parte (c): queremos quantas vezes mais radiação térmica total é emitida à temperatura
em relação a
.
Conceito e fórmula: a lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área de um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Para comparar duas temperaturas não precisamos do valor numérico de
; a razão entre as potências é simplesmente
Já temos
e
. Calculamos a razão
Agora elevamos à quarta potência. Uma forma de cálculo por partes: primeiro o quadrado
depois o quarto é
:
Portanto, a emissão total por unidade de área na temperatura
é cerca de
vezes maior do que à temperatura inicial
. Em palavras: aquecer o objeto de
até aproximadamente
aumenta dramaticamente a emissão total (por fator de dezenas de milhares) por causa do comportamento
.
Passo 5
Dica rápida para a prova: memorize as duas leis usadas aqui
Converta sempre Celsius para Kelvin antes de aplicar essas leis. Confie nas ordens de grandeza: temperaturas de algumas milhares de kelvin deslocam o pico para o visível; temperaturas de algumas centenas de kelvin colocam o pico no infravermelho.
Resposta
(a)
(b)
(c) A emissão total é aproximadamente vezes maior.
(b)
(c) A emissão total é aproximadamente