Um objeto, cuja emissão de radiação térmica se dá aproximadamente como a de um corpo negro, é mantido à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}.
a) O máximo da emissão de radiação térmica ocorre para qual comprimento de onda?
b) Para qual temperatura devemos aquecer este objeto para que seu pico de radiação térmica esteja na região do vermelho,
\lambda=700 \mathrm{~nm} ?
c) Quantas vezes mais radiação térmica é emitida nesta temperatura mais alta?

Passo 1

O enunciado dá um objeto que emite radiação térmica aproximadamente como um corpo negro e está mantido à temperatura de 25^\circ\mathrm{C}. Ele pede três coisas:
  • (a) Qual o comprimento de onda no qual ocorre o máximo da emissão (pico) para essa temperatura?
  • (b) Para que temperatura o pico fique em \lambda=700\\ \mathrm{nm} (região do vermelho)?
  • (c) Quantas vezes maior é a radiação total emitida nessa temperatura mais alta (do item b) em comparação com a emissão à temperatura inicial?
Informações dadas que vamos usar:
  • Temperatura inicial: \;25^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento de interesse no item (b): \;\lambda=700\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Conceito e fórmula útil para (a): a lei de deslocamento de Wien diz que o produto entre o comprimento de onda do pico \lambda_{\max} e a temperatura absoluta T é constante:
\lambda_{\max} \, T = b
onde b é a constante de Wien. Uma explicação curta do que isso significa: à temperatura mais alta, o pico da curva espectral desloca-se para comprimentos de onda menores (mais azul); à temperatura mais baixa, desloca-se para comprimentos maiores (mais infravermelho). A constante experimentalmente determinada vale aproximadamente
b = 2{,}898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Antes de usar a fórmula, convertemos a temperatura inicial de Celsius para Kelvin. A relação é
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Para 25^\circ\mathrm{C} temos
T_1 = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora aplicamos a lei de Wien para achar \lambda_{\max} na temperatura T_1:
\lambda_{\max} = \frac{b}{T_1}.
Substituindo números:
\lambda_{\max} = \frac{2{,}898\times 10^{-3}}{298{,}15}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão (mostro o raciocínio numérico): 2{,}898\times10^{-3}\div 298{,}15 \approx 9{,}72\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Convertendo para unidades mais familiares:
\lambda_{\max}\approx 9{,}72\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 9{,}72\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação curta: o pico está na região do infravermelho médio (cerca de 9{,}7\\ \mu\mathrm{m}), por isso objetos à temperatura ambiente não parecem “quentes” no visível.

Passo 3

Parte (b): queremos a temperatura T_2 tal que o pico esteja em \lambda=700\\ \mathrm{nm}. Usamos a mesma lei de Wien, resolvendo para T:
T = \frac{b}{\lambda}.
Primeiro convertemos \lambda para metros:
\lambda = 700\\ \mathrm{nm} = 700\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 7{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos
T_2 = \frac{2{,}898\times 10^{-3}}{7{,}00\times 10^{-7}}\\ \mathrm{K}.
Fazendo a divisão:
T_2 \approx 4{,}14\times 10^{3}\\ \mathrm{K}.
Se quiser em graus Celsius:
T_2(^{\circ}\mathrm{C}) = T_2(\mathrm{K}) - 273{,}15 \approx 4{,}14\times10^{3} - 273{,}15 \approx 3{,}866{,}85^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: para o pico em 700\\ \mathrm{nm} precisamos aquecer o objeto a umas poucas milhares de kelvin — temperaturas de estrela fria ou de filamento incandescente, muito acima de temperaturas comuns.

Passo 4

Parte (c): queremos quantas vezes mais radiação térmica total é emitida à temperatura T_2 em relação a T_1.
Conceito e fórmula: a lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área de um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta:
j^\star = \sigma T^4,
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Para comparar duas temperaturas não precisamos do valor numérico de \sigma; a razão entre as potências é simplesmente
\frac{j^\star_2}{j^\star_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4.
Já temos T_1 = 298{,}15\\ \mathrm{K} e T_2 \approx 4{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{K}. Calculamos a razão
r=\frac{T_2}{T_1}\approx\frac{4{,}14\times10^{3}}{298{,}15}\approx 13{,}89.
Agora elevamos à quarta potência. Uma forma de cálculo por partes: primeiro o quadrado
r^2 \approx 13{,}89^2 \approx 192{,}85,
depois o quarto é (r^2)^2:
r^4 \approx 192{,}85^2 \approx 3{,}72\times10^{4}.
Portanto, a emissão total por unidade de área na temperatura T_2 é cerca de 3{,}72\times10^{4} vezes maior do que à temperatura inicial T_1. Em palavras: aquecer o objeto de 25^\circ\mathrm{C} até aproximadamente 4{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{K} aumenta dramaticamente a emissão total (por fator de dezenas de milhares) por causa do comportamento T^4.

Passo 5

Dica rápida para a prova: memorize as duas leis usadas aqui
\lambda_{\max}T=b\quad\text{(Wien)}\qquad\text{e}\qquad j^\star=\sigma T^4\quad\text{(Stefan–Boltzmann)}.
Converta sempre Celsius para Kelvin antes de aplicar essas leis. Confie nas ordens de grandeza: temperaturas de algumas milhares de kelvin deslocam o pico para o visível; temperaturas de algumas centenas de kelvin colocam o pico no infravermelho.

Resposta

(a) \lambda_{\max}\approx 9{,}72\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=9{,}72\\ \mu\mathrm{m}.
(b) T\approx 4{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{K}\\ (\approx 3866{,}85^\circ\mathrm{C}).
(c) A emissão total é aproximadamente 3{,}72\times10^{4} vezes maior.

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