Corrente caindo No Problema 45 dos Exercícios 2.4 vimos que um modelo matemático para a velocidade v de uma corrente escorregando da borda de uma plataforma horizontal é
x v d vd x+v^2=32 x
Neste problema foi solicitado que a ED fosse resolvida convertendo-a em uma equaçảo exata através de um fator de integração. Agora, resolva a ED usando o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.

Passo 1

Temos a EDO que modela a velocidade v:
x,vdvdx+v^2=32,x
O conteúdo desta EDO é do tipo Bernoulli em v. Vamos identificar a forma padrão para poder aplicar o método.

Passo 2

Dividimos a equação original por x e por v para organizá-la na forma de Bernoulli. Primeiro dividindo por x:
vdvdx+v^2x=32
Em seguida dividindo por v:
dvdx+vx=32v
Isto é uma equação de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n com n=-1, P(x)=1/x e Q(x)=32.

Passo 3

Para resolver uma Bernoulli com nneq0,1 fazemos a substituição u=v^1-n=v^2. Então
dudx=2vdvdx,
ou seja vdvdx=tfrac12dudx e v^2=u. Substituindo em
dvdx+vx=32v, obtemos
tfrac12dudx+ux=32
Multiplicando por 2 dá a EDO linear
dudx+2xu=64

Passo 4

Para resolver essa EDO linear usamos o fator de integração
mu(x)=expl(integraltfrac2xdxr)=x^2
Multiplicando toda a equação por x^2 resulta em
ddx(x^2u)=64x^2
Integrando,
x^2u=integral64x^2dx=643x^3+C
Logo
u=643x+Cx^-2

Passo 5

Voltamos à variável original usando u=v^2. Assim
v=pmraizu=pmraiz643x+Cx^-2
No contexto físico de velocidade adotamos o sinal positivo.

Resposta

v(x)=\sqrt{\tfrac{64}{3}x+Cx^{-2}}

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