Corrente caindo No Problema 45 dos Exercícios 2.4 vimos que um modelo matemático para a velocidade
de uma corrente escorregando da borda de uma plataforma horizontal é
Neste problema foi solicitado que a ED fosse resolvida convertendo-a em uma equaçảo exata através de um fator de integração. Agora, resolva a ED usando o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.
Passo 1
Temos a EDO que modela a velocidade
:
O conteúdo desta EDO é do tipo Bernoulli em
. Vamos identificar a forma padrão para poder aplicar o método.
Passo 2
Dividimos a equação original por
e por
para organizá-la na forma de Bernoulli. Primeiro dividindo por
:
Em seguida dividindo por
:
Isto é uma equação de Bernoulli
com
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Bernoulli com
fazemos a substituição
. Então
ou seja
e
. Substituindo em
, obtemos
Multiplicando por 2 dá a EDO linear
Passo 4
Para resolver essa EDO linear usamos o fator de integração
Multiplicando toda a equação por
resulta em
Integrando,
Logo
Passo 5
Voltamos à variável original usando
. Assim
No contexto físico de velocidade adotamos o sinal positivo.
Resposta
v(x)=\sqrt{\tfrac{64}{3}x+Cx^{-2}}