Nos Problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial dado.
d yd x=cos (x+y), y(0)=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial dydx=cos(x+y) com y(0)=pi/4. O conteúdo envolve ODE de primeira ordem não-linear, mas que fica separável depois de uma substituição apropriada. Vamos precisar usar a técnica de substituição para transformar em uma equação separável e, em seguida, integrar.

Passo 2

Introduzimos a substituição u=x+y. Então temos
dudx=1+dydx=1+cos(u)
Isso transforma nossa ODE em
dudx=1+cos(u),
que já está em forma separável.

Passo 3

Separemos as variáveis escrevendo
du1+cos(u)=dx
Sabemos que 1+cos(u)=2cos^2(u/2), logo
du2cos^2(u/2)=dx $$
\frac12\sec^2\bigl(\tfrac u2\bigr),du=dx.
12sec^2l(tfrac u2r),du=dx éá
\tan\bigl(\tfrac u2\bigr)=x+C.
$$

Passo 4

Aplicamos a condição inicial x=0,;y=pi/4, então u(0)=0+pi/4=pi/4. Isso implica
tanl(tfracpi/42r)=tanl(tfracpi8r)=C
Logo a relação implícita da solução é
tanl(tfracx+y2r)=x+tanl(tfracpi8r)

Passo 5

Para obter y explicitamente, aplicamos arco-tangente e isolamos y:
tfracx+y2=arctanl(x+tan(tfracpi8)r) $$
y=2\arctan\bigl(x+\tan(\tfrac\pi8)\bigr)-x.
$$

Resposta

A solução explícita do problema de valor inicial é
y(x)=2arctanl(x+tan(tfracpi8)r)-x

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