Nos Problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
com
. O conteúdo envolve ODE de primeira ordem não-linear, mas que fica separável depois de uma substituição apropriada. Vamos precisar usar a técnica de substituição para transformar em uma equação separável e, em seguida, integrar.
Passo 2
Introduzimos a substituição
. Então temos
Isso transforma nossa ODE em
que já está em forma separável.
Passo 3
Separemos as variáveis escrevendo
Sabemos que
, logo
\frac12\sec^2\bigl(\tfrac u2\bigr),du=dx.
\tan\bigl(\tfrac u2\bigr)=x+C.
$$
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
, então
. Isso implica
Logo a relação implícita da solução é
Passo 5
Para obter
explicitamente, aplicamos arco-tangente e isolamos
:
y=2\arctan\bigl(x+\tan(\tfrac\pi8)\bigr)-x.
$$
Resposta
A solução explícita do problema de valor inicial é