- A energia de um circuito LC oscilante que contém um indutor de
é
. A carga máxima do capacitor é
. Para um sistema mecânico com o mesmo período, determine (a) a massa, (b) a constante da mola, (c) o deslocamento máximo e (d) a velocidade escalar máxima.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados fornecidos:
- Indutância:
. - Energia total no circuito:
. - Carga máxima do capacitor:
.
O enunciado pede, para um sistema massa-mola que tenha exatamente o mesmo período de oscilação do circuito LC:
(a) a massa ;
(b) a constante da mola ;
(c) o deslocamento máximo ;
(d) a velocidade escalar máxima .
(a) a massa
(b) a constante da mola
(c) o deslocamento máximo
(d) a velocidade escalar máxima
Passo 2
Entender a relação energia-capacitância e como obter
.
Teoria rápida e intuitiva (sem jargões): num capacitor a energia elétrica armazenada quando a carga máxima é
é dada por
onde
-
é a energia (joules), -
é a carga máxima (coulombs), -
é a capacitância (farads).
Essa fórmula vem de integrar a energia diferencial
usando
. Vou usar essa fórmula para encontrar
, já que conheço
e
.
Passo 3
Calcular
a partir de
.
Isolando
:
Agora substituo os valores (fazendo as contas passo a passo):
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Estabelecer a analogia entre o circuito LC e o sistema massa-mola para relacionar
com
.
Explicação didática da analogia:
- A equação do movimento para a carga num circuito LC (variando no tempo) é
onde
é a carga instantânea.
- A equação do movimento para uma massa presa a uma mola (sem amortecimento) é
onde
é o deslocamento.
Comparando termo a termo, obtemos a correspondência direta:
Isso significa que, para ter exatamente o mesmo período, podemos tomar
e
(Observação amigável: as unidades físicas vêm junto com essa analogia; os valores numéricos obtidos são aqueles que preservam as equações differenciais e, portanto, o período. Não se assuste: é um procedimento padrão de analogia entre circuitos elétricos e sistemas mecânicos.)
Passo 5
Calcular a massa
e a constante da mola
numericamente.
Pela analogia:
Para
:
Passo 6
Determinar o deslocamento máximo
.
Pela analogia também
(deslocamento máximo na mola) corresponde numericamente a
(já que
e as equações são equivalentes). Outra forma de ver isso é igualar as energias máximas:
Energia no circuito (quando a carga é máxima):
Energia mecânica máxima (quando o deslocamento é
):
Como
, dessas duas expressões segue-se imediatamente que
Portanto numericamente:
(ou seja
.)
Passo 7
Calcular a velocidade escalar máxima
.
Para movimentos harmônicos simples com frequência angular
e amplitude
vale
Aqui
do circuito LC é
Calculo de
com os valores já obtidos:
Agora
:
(Nota: essa velocidade numérica é a mesma que se obtém pela analogia direta com a corrente máxima
, porque
na analogia.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)