1. A energia de um circuito LC oscilante que contém um indutor de 1,25 \mathrm{H} é 5,70 \mu \mathrm{~J}. A carga máxima do capacitor é 175 \mu \mathrm{C}. Para um sistema mecânico com o mesmo período, determine (a) a massa, (b) a constante da mola, (c) o deslocamento máximo e (d) a velocidade escalar máxima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Indutância: L=1,25\\ \mathrm{H}.
  • Energia total no circuito: E=5,70\\ \mu\mathrm{J}=5,70\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
  • Carga máxima do capacitor: Q_{\max}=175\\ \mu\mathrm{C}=175\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
O enunciado pede, para um sistema massa-mola que tenha exatamente o mesmo período de oscilação do circuito LC:
(a) a massa m;
(b) a constante da mola k;
(c) o deslocamento máximo x_{\max};
(d) a velocidade escalar máxima v_{\max}.

Passo 2

Entender a relação energia-capacitância e como obter C.
Teoria rápida e intuitiva (sem jargões): num capacitor a energia elétrica armazenada quando a carga máxima é Q_{\max} é dada por
E=\frac{Q_{\max}^{2}}{2C},
onde
  • E é a energia (joules),
  • Q_{\max} é a carga máxima (coulombs),
  • C é a capacitância (farads).
Essa fórmula vem de integrar a energia diferencial dE = V\,dq usando V=q/C. Vou usar essa fórmula para encontrar C, já que conheço E e Q_{\max}.

Passo 3

Calcular C a partir de E=\dfrac{Q_{\max}^{2}}{2C}.
Isolando C:
C=\frac{Q_{\max}^{2}}{2E}.
Agora substituo os valores (fazendo as contas passo a passo):
Q_{\max}^{2}=(175\times10^{-6})^{2}=175^{2}\times10^{-12}=30625\times10^{-12}=3{,}0625\times10^{-8}.
2E=2\cdot(5{,}70\times10^{-6})=1{,}14\times10^{-5}.
C=\frac{3{,}0625\times10^{-8}}{1{,}14\times10^{-5}}=\frac{3{,}0625}{1{,}14}\times10^{-3}\approx2{,}6855\times10^{-3}\\ \mathrm{F}.
Arredondando razoavelmente:
C\approx2{,}686\times10^{-3}\\ \mathrm{F} \quad(=2{,}686\\ \mathrm{mF}).

Passo 4

Estabelecer a analogia entre o circuito LC e o sistema massa-mola para relacionar L,C com m,k.
Explicação didática da analogia:
  • A equação do movimento para a carga num circuito LC (variando no tempo) é
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0,
onde q(t) é a carga instantânea.
  • A equação do movimento para uma massa presa a uma mola (sem amortecimento) é
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+k\,x=0,
onde x(t) é o deslocamento.
Comparando termo a termo, obtemos a correspondência direta:
m \longleftrightarrow L,\qquad k \longleftrightarrow \frac{1}{C},\qquad x(t)\longleftrightarrow q(t).
Isso significa que, para ter exatamente o mesmo período, podemos tomar
m=L
e
k=\frac{1}{C}.
(Observação amigável: as unidades físicas vêm junto com essa analogia; os valores numéricos obtidos são aqueles que preservam as equações differenciais e, portanto, o período. Não se assuste: é um procedimento padrão de analogia entre circuitos elétricos e sistemas mecânicos.)

Passo 5

Calcular a massa m e a constante da mola k numericamente.
Pela analogia:
m=L=1{,}25\\ \mathrm{kg}.
Para k:
k=\frac{1}{C}=\frac{1}{2{,}6855\times10^{-3}}\\ \mathrm{N/m}\approx372{,}4\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Determinar o deslocamento máximo x_{\max}.
Pela analogia também x_{\max} (deslocamento máximo na mola) corresponde numericamente a Q_{\max} (já que x\leftrightarrow q e as equações são equivalentes). Outra forma de ver isso é igualar as energias máximas:
Energia no circuito (quando a carga é máxima):
E=\frac{Q_{\max}^{2}}{2C}.
Energia mecânica máxima (quando o deslocamento é x_{\max}):
E=\frac{1}{2}k x_{\max}^{2}.
Como k=1/C, dessas duas expressões segue-se imediatamente que
x_{\max}=Q_{\max}.
Portanto numericamente:
x_{\max}=175\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
(ou seja x_{\max}=175\\ \mu\mathrm{m}.)

Passo 7

Calcular a velocidade escalar máxima v_{\max}.
Para movimentos harmônicos simples com frequência angular \omega e amplitude X vale
v_{\max}=\omega X.
Aqui \omega do circuito LC é
\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Calculo de \omega com os valores já obtidos:
LC=1{,}25\times(2{,}6855\times10^{-3})=3{,}3569\times10^{-3}.
\omega=\frac{1}{\sqrt{3{,}3569\times10^{-3}}}\approx\frac{1}{0{,}05795}\approx17{,}25\\ \mathrm{rad/s}.
Agora v_{\max}=\omega x_{\max}:
v_{\max}=17{,}25\times(1{,}75\times10^{-4})\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
(Nota: essa velocidade numérica é a mesma que se obtém pela analogia direta com a corrente máxima I_{\max}=\omega Q_{\max}, porque i\leftrightarrow v na analogia.)

Resposta

(a) m=1{,}25\\ \mathrm{kg}
(b) k\approx372{,}4\\ \mathrm{N/m}
(c) x_{\max}=1{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=175\\ \mu\mathrm{m}
(d) v_{\max}\approx3{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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