A corrente convencional que entra pelo polo positivo de um dispositivo é i(t)=3 e^-2 t A, enquanto que a queda de tensão no mesmo é v(t)=5 d i(t) / d t. Calcule:
Carga total entre 0 e 2 s. (1,47 C)

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem uma corrente
i(t)=3e^-2t A
que entra no polo positivo de um dispositivo, e que a tensão ali vale
v(t)=5,di(t)dt,
Mas o que a gente precisa é calcular a carga total que passou pelo dispositivo entre t=0 e t=2,s.
Matéria envolvida: definição de carga elétrica como integral da corrente, e integração de uma função exponencial.

Passo 2

Lembra que corrente é taxa de variação de carga:
Q=integral i(t),dt,
Então, para achar a carga de 0 a 2,s, basta computar
Q=integral0^23e^-2t,dt,

Passo 3

Vamos integrar passo a passo:
  1. Puxamos a constante 3 pra fora da integral:
Q=3integral0^2e^-2t,dt,
2) Sabendo que
integral e^at,dt=1ae^at,,
no nosso caso a=-2, então
integral e^-2t,dt=1-2e^-2t=-tfrac12e^-2t,
3) Aplicando nos limites de 0 a 2:
$$Q=3\Bigl[-\tfrac12e{-2t}\Bigr]_{0}{2}
=3\Bigl(-\tfrac12e^{-4} -\bigl(-\tfrac12e^{0}\bigr)\Bigr)
=3\Bigl(-\tfrac12e^{-4} +\tfrac12\Bigr),. Q=3l[-tfrac12e^-2tr]0^2 =3l(-tfrac12e^-4 -l(-tfrac12e^0r)r) =3l(-tfrac12e^-4 +tfrac12r), Q=\frac{3}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr),. $$

Passo 4

Agora, manda ver na conta numérica:
  • e^-4approx0,0183
  • Então 1-e^-4approx0,9817
  • E 32=1,5
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Qapprox1,5times0,9817approx1,4726 C,

Resposta

A carga total entre 0 e 2 s é aproximadamente
boxed1,47 C,

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