Corrente elétrica de densidade j passa por um cabo de material cuja resistividade é rho. Mostre que a potência dissipada por efeito Joule por unidade de volume do material é rho j^2.

Passo 1

Temos uma densidade de corrente elétrica j fluindo num material de resistividade rho. Queremos encontrar a potência dissipada por efeito Joule por unidade de volume, ou seja, a densidade de potência p. Para isso, vamos usar (1) a definição de densidade de potência elétrica e (2) a forma local da lei de Ohm.

Passo 2

A densidade de potência elétrica dissipada num ponto do condutor é dada pelo produto escalar entre a densidade de corrente e o campo elétrico nesse ponto:
p = j cdot E
Isto vem do fato de que a potência por volume é a taxa de trabalho das forças elétricas sobre as cargas em movimento.

Passo 3

A lei de Ohm no ponto (forma local) relaciona o campo elétrico E e a densidade de corrente j por
E = rho , j,
pois rho é a resistividade do material ( rho=1/sigma, onde sigma é a condutividade). Substituindo em p= jcdot E, obtemos
p = jcdot(rho, j) = rho,( jcdot j) = rho,| j|^2

Resposta

A potência dissipada por efeito Joule por unidade de volume é
rho,j^2

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