a) Em que frequência angular um indutor de 6,23 m H e um capacitor de 11,4 mu F têm a mesma reatância?
b) Qual seria esta reatância?
c) Mostre que esta frequência seria igual à frequência natural de oscilação livre L C.

Passo 1

O enunciado pede a frequência angular omega em que a reatância do indutor de L=6,23,mH e do capacitor de C=11,4,muF são iguais, o valor dessa reatância e mostrar que essa omega coincide com a frequência natural de oscilação de um circuito LC. Para isso vamos usar as fórmulas de reatância indutiva ,XL=omega L e capacitiva ,XC=1/(omega C), resolver a condição de igualdade e, em seguida, derivar a frequência natural do circuito LC a partir da sua equação de movimento.

Passo 2

Igualando as reatâncias:
omega L ;=;1omega C
Multiplicando ambos os lados por omega e isolando omega^2, obtemos
omega^2 ;=;1L,C Longrightarrow omega0 ;=;1raizL,C

Passo 3

Substituindo L=6,23times10^-3,H e C=11,4times10^-6,F:
omega0 =1raiz(6,23times10^-3)(11,4times10^-6) approx3,75times10^3,rad/s

Passo 4

A reatância comum vale
XL= omega0L = (3,75times10^3)(6,23times10^-3) approx23,4;Omega,
que é igual a 1/(omega0C).

Passo 5

Para mostrar que omega0=1/raizLC é a frequência natural livre do circuito LC, escrevemos a equação de carga q(t):
L,d^2qdt^2+qC=0
Dividindo por L e rearranjando:
d^2qdt^2+1L,C,q=0
Essa é a equação de um oscilador harmônico com
omega^2=1/(L,C),
logo
omega=omega0=1/raizLC.

Resposta

a) omega0approx3,75times10^3,rad/s
b) XL=XCapprox23,4,Omega
c) De fato omega0=1/raizLC, que é exatamente a frequência natural de oscilação livre do circuito LC.

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