Uma corrente elétrica de I=3 A flui por um condutor de seção transversal A= 0.01 \mathrm{~m}^{2}. Verifique a equação da continuidade \nabla \cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} em um sistema tridimensional.

Passo 1

O enunciado nos dá uma corrente elétrica contínua de I=3 A que atravessa um condutor de seção transversal A=0,01,m ^2. Pede-se verificar a equação da continuidade em três dimensões, isto é
\nabla\cdot\mathbf{J} \;=\; -\frac{\partial \rho}{\partial t}\,.
Para isso precisamos (a) determinar a densidade de corrente \mathbf{J}, (b) calcular seu divergente \nabla\cdot\mathbf{J} num sistema de coordenadas cartesianas e (c) relacionar esse resultado com a taxa de variação temporal da densidade de carga \rho.

Passo 2

Em regime estacionário (corrente constante) a densidade de corrente \mathbf{J} é uniforme e paralela ao eixo do condutor. O módulo de \mathbf{J} é
J = \frac{I}{A} = \frac{3\;\text{A}}{0,01\;\text{m}^2} = 300\;\text{A/m}^2.
Escolhendo o eixo z ao longo do condutor,
\mathbf{J} = 300\,\hat{\mathbf{z}}\quad(\text{A/m}^2).

Passo 3

Em coordenadas cartesianas temos
\mathbf{J} = (J_x,J_y,J_z) = (0,\,0,\,300)\,.
Logo o divergente é
\nabla\cdot\mathbf{J} =\frac{\partial J_x}{\partial x} +\frac{\partial J_y}{\partial y} +\frac{\partial J_z}{\partial z} =0+0+\frac{\partial (300)}{\partial z} =0.

Passo 4

Num regime estacionário a densidade de carga local \rho não muda com o tempo, ou seja
\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.

Passo 5

Como \nabla\cdot\mathbf{J}=0 e \partial\rho/\partial t=0, temos
\nabla\cdot\mathbf{J} \;=\; -\frac{\partial \rho}{\partial t} \;=\; 0,
o que confirma a validade da equação da continuidade.

Resposta

A densidade de corrente é \mathbf{J}=300\,\hat{\mathbf{z}} A/m ^2, seu divergente vale zero e \partial\rho/\partial t=0. Logo
\nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0,
verificando a equação da continuidade.

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