Duas cargas Q_{1}=8 \mu \mathrm{C} e Q_{2}=-4 \mu \mathrm{C} estão separadas por d=0.5 \mathrm{~m} em ( 0,0,0 ) e (0.5, 0, 0). Determine o gradiente do potencial no ponto (0.25, 0, 0).

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais em eletrostática:
Q_{1} = 8\,\mu\mathrm{C} em (0,0,0) e Q_{2} = -4\,\mu\mathrm{C} em (0{,}5,0,0), separadas por d = 0{,}5,m. Pede-se o gradiente do potencial elétrico \nabla V no ponto P = (0{,}25,0,0). Para resolver, vamos usar a expressão do potencial de cargas pontuais e a fórmula de derivada de 1/r.

Passo 2

O potencial total em um ponto \mathbf{r} é a soma dos potenciais de cada carga:
V(\mathbf{r}) = k\frac{Q_{1}}{r_{1}} \;+\; k\frac{Q_{2}}{r_{2}},
onde k=9\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
\displaystyle r_{1} = |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}| e
\displaystyle r_{2} = |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}|.

Passo 3

O gradiente do potencial é
\nabla V = k\,Q_{1}\,\nabla\bigl(\tfrac1{r_{1}}\bigr) + k\,Q_{2}\,\nabla\bigl(\tfrac1{r_{2}}\bigr).
Sabendo que
\nabla\bigl(\tfrac1r\bigr) = -\frac{\mathbf{r}}{r^{3}},
temos
\nabla V = -k\,Q_{1}\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}|^{3}} -k\,Q_{2}\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}|^{3}}.

Passo 4

No ponto P=(0{,}25,0,0) vale
\mathbf{r}=(0{,}25,0,0),
\mathbf{r}_{1}=(0,0,0) e
\mathbf{r}_{2}=(0{,}5,0,0).
Logo
\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}=(0{,}25,0,0),\quad \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=(-0{,}25,0,0),
e ambas as distâncias são
r_{1}=r_{2}=0{,}25\;\mathrm{m},\quad r_{1}^{3}=r_{2}^{3}=(0{,}25)^{3}=0{,}015625\;\mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Substituindo em \nabla V e projetando apenas na direção x (as componentes y,z são nulas), temos
(\nabla V)_{x} = -k\,Q_{1}\,\frac{0{,}25}{0{,}015625} -k\,Q_{2}\,\frac{-0{,}25}{0{,}015625}.
Calculando cada termo:
\frac{0{,}25}{0{,}015625}=16,
-k\,Q_{1}\,16 = -9\times10^{9}\times8\times10^{-6}\times16 = -1{,}152\times10^{6},
-k\,Q_{2}\,(-16) = -9\times10^{9}\times(-4\times10^{-6})\times(-16) = -0{,}576\times10^{6}.
Somando,
(\nabla V)_{x} = -1{,}152\times10^{6} \;-\;0{,}576\times10^{6} = -1{,}728\times10^{6} \;\mathrm{V/m}.

Resposta

\nabla V(0{,}25,0,0) = -1{,}728\times10^{6}\,\hat{\mathbf{i}}\;\mathrm{V/m}.

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