Usando o método das imagens, determine o potencial em um ponto ( x=1 \mathrm{~m}, y= 0, z=0 ) devido a uma carga Q=5 \mu \mathrm{C} a 2 m de uma placa condutora no plano z=0.

Passo 1

O enunciado trata de eletrostática e pede para usar o método das imagens para calcular o potencial elétrico em um ponto da placa condutora (plano z=0), que está aterrada (potencial zero). Temos uma carga pontual Q=5\,\mu\mathrm{C} localizada a uma distância d=2\,\mathrm{m} acima do plano, ou seja em (0,0,d). Queremos \varphi em (x,y,z)=(1,0,0).

Passo 2

Pelo método das imagens, substituímos o plano condutor aterrado por uma carga imagem de valor -Q simetricamente abaixo do plano. Assim:
– Carga real Q em (0,0,+d).
– Carga imagem -Q em (0,0,-d).
O potencial total acima do plano ( z\ge0) é a soma das contribuições dessas duas cargas.

Passo 3

O potencial gerado por uma carga pontual q em um ponto \mathbf{r} é
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|}\,.
Para o nosso caso, em um ponto \mathbf{r}=(x,y,z) sobre o plano ( z=0),
\varphi(x,y,0) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(0-d)^{2}}} +\frac{-Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(0+ d)^{2}}}\Bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,0) e d=2: as distâncias até as cargas real e imagem são
r_{1}=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}, \quad r_{2}=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(+2)^{2}}=\sqrt{5}.
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\varphi(1,0,0) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{Q}{\sqrt{5}} - \frac{Q}{\sqrt{5}}\Bigr) =0.

Resposta

\displaystyle 0 V.

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