Uma corrente elétrica oscilante I pode ser considerada uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade:
f(i)=1 / 2, se 9 <= i <= 11
Se essa corrente passar em um resistor de 2 ohms, qual será a função densidade da potência P=2 I^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede:
Temos uma corrente elétrica fI(i)=12, 9<= i<=11 que é uma variável aleatória contínua com densidade
P=2I^2
A potência no resistor de 2 Ω é dada por
fP(p)=fIl(i(p)r),l|didpr|
Conteúdo da matéria: distribuição de probabilidade de função de variável aleatória contínua e mudança de variável. Vamos precisar:
  1. Encontrar a relação inversa .
  2. Calcular .
  3. Aplicar a fórmula

Passo 2

Primeiro, achamos o intervalo de Pmin=2cdot9^2=162, Pmax=2cdot11^2=242 . Como i=raiz p2 vai de 9 a 11,
didp =ddpl(p/2r)^1/2 =12,(p/2)^-1/2cdot12 =14raizp/2
Depois, escrevemos a inversa da transformação :
Agora derivamos em relação a :

Passo 3

Aplicamos a fórmula da densidade transformada:
fP(p) =fIl(i(p)r),l|tfracdidpr| =12;times;14raizp/2 =18raizp/2,
para 8raizp/2=8raiz praiz2=4raiz2,raiz p , e zero fora disso. Dá pra simplificar fP(p)=14raiz2,raiz p,162<= p<=242 , então
e assim

Resposta

A densidade de boxedfP(p)= dfrac14raiz2,raiz p,&162<= p<=242, 0,&caso contrário é
á

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