Uma corrente flexível uniforme, cuja massa por unidade de comprimento é
, passa por uma pequena roldana sem atrito e de massa desprezível. Ela é liberada da posição de repouso, em que pende para um lado com um comprimento
e para o outro com comprimento
.
a) determine a aceleração em função de
;
b) calcule a velocidade com que a corrente abandona a roldana.
a) determine a aceleração em função de
b) calcule a velocidade com que a corrente abandona a roldana.
Passo 1
O enunciado descreve uma corrente flexível e uniforme de massa por unidade de comprimento
, passando sobre uma roldana sem atrito e de massa desprezível. Num dado instante, um lado da corrente tem comprimento
e o outro
. Soltando-se do repouso,
- queremos achar a aceleração instantânea
em função de , - e depois a velocidade
com que a corrente sai totalmente da roldana (isto é, quando ).
Vamos usar a segunda lei de Newton para sistemas e depois o método de conservação de energia cinética via
.
Passo 2
Calculamos a força resultante que tende a aumentar
. O peso do lado de comprimento
é
e o do lado de comprimento
é
. Assim, no sentido de aumentar
,
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema inteiro (massa total
),
logo
Passo 4
Para encontrar a velocidade final, usamos que
logo
Integrando de
(inicial) até
e usando
na partida,
Portanto
Resposta
a)
b)
b)