Uma corrente flexível uniforme, cuja massa por unidade de comprimento é \lambda, passa por uma pequena roldana sem atrito e de massa desprezível. Ela é liberada da posição de repouso, em que pende para um lado com um comprimento x e para o outro com comprimento l-x.
a) determine a aceleração em função de x;
b) calcule a velocidade com que a corrente abandona a roldana.

Passo 1

O enunciado descreve uma corrente flexível e uniforme de massa por unidade de comprimento \lambda, passando sobre uma roldana sem atrito e de massa desprezível. Num dado instante, um lado da corrente tem comprimento x e o outro l - x. Soltando-se do repouso,
  1. queremos achar a aceleração instantânea a em função de x,
  2. e depois a velocidade v com que a corrente sai totalmente da roldana (isto é, quando x\to l).
Vamos usar a segunda lei de Newton para sistemas e depois o método de conservação de energia cinética via a = v\,dv/dx.

Passo 2

Calculamos a força resultante que tende a aumentar x. O peso do lado de comprimento x é \lambda x g e o do lado de comprimento l-x é \lambda(l-x)g. Assim, no sentido de aumentar x,
F_{\text{res}} = \lambda x g \;-\;\lambda(l-x)g = \lambda g\,(2x - l).

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema inteiro (massa total \lambda l),
\lambda l\,a = \lambda g\,(2x - l)
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a = g\,\frac{2x - l}{l}.

Passo 4

Para encontrar a velocidade final, usamos que
a = \frac{dv}{dt} \quad\text{e}\quad v = \frac{dx}{dt},
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a = v\,\frac{dv}{dx} \;\Longrightarrow\; v\,dv = a(x)\,dx = g\,\frac{2x - l}{l}\,dx.
Integrando de x (inicial) até l e usando v=0 na partida,
\frac{v^2}{2} = \frac{g}{l}\int_{x}^{\,l}(2x - l)\,dx = \frac{g}{l}\Bigl[x^2 - l\,x\Bigr]_{x}^{l} = \frac{g}{l}\bigl(0 - (x^2 - l\,x)\bigr) = \frac{g}{l}\bigl(l\,x - x^2\bigr).
Portanto
v^2 = 2g\,\frac{x(l - x)}{l},
v = \sqrt{2g\,\frac{x(l - x)}{l}}.

Resposta

a) \displaystyle a = g\,\frac{2x - l}{l}.
b) \displaystyle v = \sqrt{2g\,\frac{x(l - x)}{l}}.

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