Uma corrente gasosa contendo 12 \% molar de um soluto com vazão de 44 \mathrm{kg} / \mathrm{s} é alimentada em uma torre de absorção de 1,92 \mathrm{~m} de diâmetro com recheios do tipo CMR de 50 mm , para recuperar 92 \% do soluto. A coluna opera a 2,5 \mathrm{~atm} e 20^{\circ} \mathrm{C}, com um solvente 50 \% maior que o valor mínimo isento de soluto na entrada. A relação de equilíbrio é dado por y_{A}=0,85 x_{A}. Determine a altura necessária de recheio para atender a recuperação desejada.
Dados: \rho_{g}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{G}=7,5 \cdot 10^{-5} Pa.s, D_{A B_{G}}=4,4 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, M M_{G}=44
\rho_{L}=760 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{L}=3,4 \cdot 10^{-3} Pa.s, D_{A B_{L}}=7 \cdot 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, M M_{L}=18, \sigma_{L}=0,0752 \mathrm{~N} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado trata de um processo de absorção gasosa em coluna com enchimento aleatório tipo CMR de 50 mm, diâmetro interno D=1{,}92,m, visando recuperar 92% do soluto. A coluna opera a P=2{,}5,atm e T=20^\circC. O equilíbrio gás-líquido é linear, dado por
y_A = 0,85\,x_A.
Vamos usar o conceito de número de unidades de transferência de massa (NTU) e altura de unidade de transferência (HTU), focando na fase gás, com correlação de filmagem e área específica de enchimento.

Passo 2

Definimos as frações molares na entrada e saída de gás:
y_1 = 0{,}12,\qquad y_2 = y_1\,(1-0{,}92)=0{,}12\times0{,}08=0{,}0096.
O balanço global de soluto dá
\frac{L_{\min}}{G}=\frac{m\,(y_1 - y_2)}{y_2} \quad\text{com}\;m=0{,}85.
Logo
\frac{L_{\min}}{G} =0{,}85\,\frac{0{,}12-0{,}0096}{0{,}0096} \approx9{,}78.
Como o solvente real é 50 % maior que o mínimo,
\frac{L}{G}=1{,}5\,\frac{L_{\min}}{G}\approx1{,}5\times9{,}78=14{,}67.

Passo 3

Convertendo a vazão de gás em fluxo molar e velocidade superficial:
massa de gás \dot m_G=44,kg/s, massa molar média M_G=0{,}044,kg/mol,
\dot n_G=\frac{44}{0{,}044}=1000\;\mathrm{mol/s}=1{,}0\;\mathrm{kmol/s}.
Volume molar a P=2{,}5,atm e T=293,K:
\dot V_G=\dot n_G\frac{R\,T}{P} =1000\frac{8{,}314\times293}{2{,}5\times101325} \approx9{,}62\;\mathrm{m^3/s}.
Área da coluna
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(1{,}92)^2}{4}\approx2{,}895\;\mathrm{m^2},
logo a velocidade superficial
u_G=\frac{\dot V_G}{A}\approx\frac{9{,}62}{2{,}895}\approx3{,}32\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculemos o coeficiente de transferência de massa no filme gasoso. Primeiro o número de Reynolds e de Schmidt:
\mathrm{Re}_G =\frac{\rho_G\,u_G\,d_p}{\mu_G} =\frac{1{,}2\times3{,}32\times0{,}05}{7{,}5\times10^{-5}} \approx2\,660,
\mathrm{Sc}_G =\frac{\mu_G}{\rho_G\,D_{AB,G}} =\frac{7{,}5\times10^{-5}}{1{,}2\times4{,}4\times10^{-5}} \approx1{,}42.
Pela correlação de Sherwood para filme em enchimento aleatório,
\mathrm{Sh} =2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}_G^{0,5}\,\mathrm{Sc}_G^{0,33} \approx2 + 0{,}6\times51{,}6\times1{,}123 \approx36{,}8.
Então
k_G=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB,G}}{d_p} =\frac{36{,}8\times4{,}4\times10^{-5}}{0{,}05} \approx3,23\times10^{-2}\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Adotamos uma área de interfacial específica típica para CMR 50 mm:
a=240\;\mathrm{m^2/m^3}.
O coeficiente global de transferência de massa fase gás em termos de fração molar é
K_{G,y}\,a =k_G\,C_G\,a, \quad C_G=\frac{P}{R\,T}\approx\frac{2{,}5\times101325}{8{,}314\times293} \approx104\;\mathrm{mol/m^3}.
Logo
K_{G,y}\,a =0{,}0323\times104\times240 \approx806{,}6\;\mathrm{mol/(m^3\cdot s\cdot \Delta y)}.
Em kmol e s: K_{G,y}\,a\approx0{,}807\;\mathrm{kmol/(m^3\,s\,\Delta y)}.

Passo 6

Calculamos a altura de uma unidade de transferência na fase gás,
G''=\frac{\dot n_G}{A}=\frac{1{,}0}{2{,}895}\approx0{,}345\;\mathrm{kmol/(m^2\,s)},
\mathrm{HTU}_G =\frac{G''}{K_{G,y}\,a} =\frac{0{,}345}{0{,}807} \approx0{,}428\;\mathrm{m}.

Passo 7

O número de unidades de transferência NTU em absorção, integrando entre y_1 e y_2, com reta de operação y=y_1-\tfrac{L}{G}x e equilíbrio y^*=m\,x, resulta em
NTU =\frac{1}{1 + m\,\frac{G}{L}}\, \ln\!\biggl[ \frac{\bigl(1 + m\,\frac{G}{L}\bigr)\,y_1 - m\,\frac{G}{L}\,y_1} {\bigl(1 + m\,\frac{G}{L}\bigr)\,y_2 - m\,\frac{G}{L}\,y_1} \biggr].
Como \tfrac{L}{G}=14{,}67 e portanto \tfrac{G}{L}=0{,}0682,
1 + m\,\frac{G}{L}=1{,}058,\quad m\,\frac{G}{L}\,y_1=0{,}00696,
NTU\approx\frac{1}{1{,}058} \ln\!\Bigl(\frac{0{,}12}{0{,}00320}\Bigr) \approx0{,}945\times3{,}624 \approx3{,}43.

Passo 8

Finalmente, a altura total de enchimento necessária é
H =\mathrm{HTU}_G\times NTU \approx0{,}428\;\mathrm{m}\times3{,}43 \approx1{,}47\;\mathrm{m}.

Resposta

A altura de recheio necessária para atingir 92 % de recuperação é aproximadamente 1,5 m.

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