Uma corrente de intensidade i é transmitida axialmente ao longo do condutor interno e retorna pelo externo. Considere que o raio do condutor cilindro é a e o raio da capa cilíndrica é b, e que entre os condutores temos o vácuo. Calcule o campo magnéfico em todo o espaço ( r e r>b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo magnético em diferentes regiões ao redor de um sistema de condutores cilíndricos. Temos um condutor interno com raio a que transporta uma corrente i axialmente, e um condutor externo (a capa) com raio b que retorna essa corrente. Entre eles, tem vácuo. Vamos usar a Lei de Ampère da Eletromagnetismo para resolver isso. Precisamos encontrar o campo magnético B para três casos: quando a distância r do eixo é menor que a ( r < a), entre os condutores ( a < r < b) e além do condutor externo ( r > b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética mu0 vezes a corrente total que atravessa esse caminho. Em fórmula:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • B é o campo magnético.
  • dl é um elemento infinitesimal do caminho fechado.
  • Ienc é a corrente total que passa através do caminho.
Vamos aplicar isso em cada região.

Passo 3

Caso 1: r < a
Aqui estamos dentro do condutor interno. Supondo que a corrente i está distribuída uniformemente pela seção transversal do condutor, a corrente densidade de corrente J é:
J = ipi a^2
A corrente encapsulada Ienc dentro de um raio r é proporcional à área:
Ienc = J cdot pi r^2 = ipi a^2 cdot pi r^2 = i (r^2a^2)
Agora, pela simetria cilíndrica, o campo B é tangencial e tem o mesmo valor em toda a circunferência de raio r. O caminho de Ampère é um círculo de raio r, então a integral fica:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc = mu0 i (r^2a^2)
Isolando B:
B = mu0 i r2pi a^2

Passo 4

Caso 2: a < r < b
Agora, estamos na região entre os condutores interno e externo. Aqui, todo o condutor interno está dentro do caminho de Ampère, e a corrente na capa externa está fora desse caminho, então não contribui para Ienc.
Portanto, a corrente encapsulada é toda a corrente i do condutor interno:
Ienc = i
Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 i
Isolando B:
B = mu0 i2pi r

Passo 5

Caso 3: r > b
Finalmente, estamos fora do condutor externo. Agora, tanto o condutor interno quanto o externo estão dentro do caminho de Ampère. A corrente no condutor interno é i e a no externo é -i (retornando), então a corrente total encapsulada é:
Ienc = i + (-i) = 0
Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 cdot 0 = 0
Então, isolando B:
B = 0

Resposta

O campo magnético B em todo o espaço é dado por:
B = dfracmu0 i r2pi a^2 & para r < a, dfracmu0 i2pi r & para a < r < b, 0 & para r > b

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