Uma corrente de intensidade
é transmitida axialmente ao longo do condutor interno e retorna pelo externo. Considere que o raio do condutor cilindro é
e o raio da capa cilíndrica é
, e que entre os condutores temos o vácuo. Calcule o campo magnéfico em todo o espaço (
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo magnético em diferentes regiões ao redor de um sistema de condutores cilíndricos. Temos um condutor interno com raio
que transporta uma corrente
axialmente, e um condutor externo (a capa) com raio
que retorna essa corrente. Entre eles, tem vácuo. Vamos usar a Lei de Ampère da Eletromagnetismo para resolver isso. Precisamos encontrar o campo magnético
para três casos: quando a distância
do eixo é menor que
(
), entre os condutores (
) e além do condutor externo (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética
vezes a corrente total que atravessa esse caminho. Em fórmula:
Onde:
-
é o campo magnético. -
é um elemento infinitesimal do caminho fechado. -
é a corrente total que passa através do caminho.
Vamos aplicar isso em cada região.
Passo 3
Caso 1:
Aqui estamos dentro do condutor interno. Supondo que a corrente
está distribuída uniformemente pela seção transversal do condutor, a corrente densidade de corrente
é:
A corrente encapsulada
dentro de um raio
é proporcional à área:
Agora, pela simetria cilíndrica, o campo
é tangencial e tem o mesmo valor em toda a circunferência de raio
. O caminho de Ampère é um círculo de raio
, então a integral fica:
Isolando
:
Passo 4
Caso 2:
Agora, estamos na região entre os condutores interno e externo. Aqui, todo o condutor interno está dentro do caminho de Ampère, e a corrente na capa externa está fora desse caminho, então não contribui para
.
Portanto, a corrente encapsulada é toda a corrente
do condutor interno:
Aplicando a Lei de Ampère:
Isolando
:
Passo 5
Caso 3:
Finalmente, estamos fora do condutor externo. Agora, tanto o condutor interno quanto o externo estão dentro do caminho de Ampère. A corrente no condutor interno é
e a no externo é
(retornando), então a corrente total encapsulada é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Então, isolando
:
Resposta
O campo magnético
em todo o espaço é dado por: