Um par de cargas puntiformes +2 q e -q estão localizadas sobre o eixo z em z=a e z=-3 a, respectivamente. Determine o potencial para pontos distantes sobre o eixo z(z gg a) e mostre que a superficie equipotencial V=0 é uma esfera e determine o seu centro e raio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas cargas pontuais em posições diferentes no eixo z: +2q em z = a e –q em z = –3a. A tarefa é:
  1. achar o potencial V para pontos bem distantes no eixo z (ou seja, z ≫ a),
  2. mostrar que a superfície equipotencial V = 0 é uma esfera e encontrar seu centro e raio.
Conteúdo necessário: eletrostática (potencial de cargas pontuais e princípio da superposição), desenvolvimento em série para pontos distantes (expansão de Taylor) e geometria analítica para identificar esfera.

Passo 2

Antes de tudo, escrevemos o potencial total em qualquer ponto r usando superposição:
V( r)=14pivarepsilon0l(2q| r - r1|-q| r - r2|r),
onde
e .
Aqui a ideia é: o potencial de cada carga pontual qᵢ é â, e somamos (com sinal) porque um é positiva (+2q) e o outro negativa (–q).

Passo 3

Agora focamos em pontos sobre o eixo z, com coordenada z ≫ a. Então | r- r1|=|z-a|=z-a, | r- r2|=|z+3a|=z+3a e
V(z)approx14pivarepsilon0l[ 2q1zl(1+azr) -,q1zl(1-3azr)r]
Para z ≫ a fazemos a expansão em série de Taylor:
  1. boxedV(z)approx 14pivarepsilon0l(qz+5qaz^2r)
Substituindo em V:
Reagrupando termos de mesma ordem em 1/z:
  • Monopolo (1/z): .
  • Dipolo (1/z²): .
Logo, para z ≫ a

Passo 4

Agora a superfície equipotencial V = 0 em todo espaço. Partimos de
2q| r- r1|-q| r- r2|=0 ;Longrightarrow; 2| r- r1|=1| r- r2|
Isso dá
| r- r2|= tfrac12,| r- r1|
Escrevendo em componentes (com raizx^2+y^2+(z+3a)^2 =12,raizx^2+y^2+(z-a)^2 ):
3,(x^2+y^2+z^2)+26,a,z+35,a^2=0
Elevando ao quadrado e organizando, obtemos
3l[x^2+y^2+(z+tfrac133a)^2r] -tfrac643,a^2=0 ;Longrightarrow; x^2+y^2+l(z+tfrac133ar)^2 =l(tfrac83ar)^2
Agora completamos o quadrado em z:
Isso é a equação de uma esfera!

Resposta

  1. Para z ≫ a no eixo z:
V(z)approx 14pivarepsilon0l(qz+5qaz^2r)
  1. A superfície equipotencial V = 0 é uma esfera de raio e centro em .

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