Um par de cargas puntiformes
e
estão localizadas sobre o eixo
em
e
, respectivamente. Determine o potencial para pontos distantes sobre o eixo
e mostre que a superficie equipotencial
é uma esfera e determine o seu centro e raio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas cargas pontuais em posições diferentes no eixo z: +2q em z = a e –q em z = –3a. A tarefa é:
- achar o potencial V para pontos bem distantes no eixo z (ou seja, z ≫ a),
- mostrar que a superfície equipotencial V = 0 é uma esfera e encontrar seu centro e raio.
Conteúdo necessário: eletrostática (potencial de cargas pontuais e princípio da superposição), desenvolvimento em série para pontos distantes (expansão de Taylor) e geometria analítica para identificar esfera.
Passo 2
Antes de tudo, escrevemos o potencial total em qualquer ponto r usando superposição:
onde
e
.
Aqui a ideia é: o potencial de cada carga pontual qᵢ é
, e somamos (com sinal) porque um é positiva (+2q) e o outro negativa (–q).
Passo 3
Agora focamos em pontos sobre o eixo z, com coordenada z ≫ a. Então
e
Para z ≫ a fazemos a expansão em série de Taylor:
Substituindo em V:
Reagrupando termos de mesma ordem em 1/z:
- Monopolo (1/z):
. - Dipolo (1/z²):
.
Logo, para z ≫ a
Passo 4
Agora a superfície equipotencial V = 0 em todo espaço. Partimos de
Isso dá
Escrevendo em componentes (com
):
Elevando ao quadrado e organizando, obtemos
Agora completamos o quadrado em z:
Isso é a equação de uma esfera!
Resposta
- Para z ≫ a no eixo z:
- A superfície equipotencial V = 0 é uma esfera de raio
e centro em .