Encontre o Potencial dentro (z e fora (z>R) de uma casca esférica de raio R uniformemente carregada com densidade superficial de cargas sigma (Fig.03) usando a definição de potencial
V(r)=14 pi epsilon0 integral sigmaz d a^prime
(Dica: use a lei dos cossenos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o potencial elétrico tanto dentro quanto fora de uma casca esférica de raio $ R $ que está uniformemente carregada com densidade superficial de cargas $ \sigma $. O conteúdo aqui envolve eletricidade estática, especificamente o cálculo de potenciais elétricos usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de potencial elétrico e aplicar a Lei dos Cossenos para simplificar a nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de potencial elétrico $ V® $ devido a uma distribuição de carga. A fórmula que vamos usar é:
V(r)
Aqui, $ \sigma $ é a densidade superficial de carga, $ z $ é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e um elemento de área $ da’ $ da casca esférica, e $ \epsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, para simplificar a integral, precisamos expressar $ z $ em termos das coordenadas da casca e do ponto onde estamos calculando o potencial. Vamos considerar um ponto a uma distância $ r $ do centro da casca. Usando a Lei dos Cossenos, podemos relacionar $ z $ com $ r $, $ R $ e o ângulo $ \theta $ entre o vetor posição do ponto e o vetor posição de um elemento de carga na casca:
z

Passo 4

Vamos agora parametrizar a área da casca esférica. Em coordenadas esféricas, um elemento de área $ da’ $ na casca é dado por:
da'
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $ e $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 5

Substituindo $ da’ $ e $ z $ na expressão do potencial, temos:
da'
Note que a integral em $ \phi $ é simples e resulta em $ 2\pi $, então podemos simplificar:
z

Passo 6

Agora, vamos analisar essa integral para os dois casos: $ r < R $ (dentro da casca) e $ r > R $ (fora da casca).
Caso 1: $ r < R $
Dentro da casca, pela simetria esférica e usando o teorema de Gauss, sabemos que o campo elétrico $ E = 0 $, o que implica que o potencial elétrico $ V $ é constante dentro da casca.
Caso 2: $ r > R $
Fora da casca, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Portanto, o potencial elétrico é dado por:
r < R
Onde $ Q $ é a carga total na casca, que pode ser calculada como $ Q = 4 \pi R^2 \sigma $.
Substituindo $ Q $ na expressão:
r > R

Resposta

Portanto, o potencial elétrico $ V® $ é:
V(r)

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