Uma corrente líquida no seu ponto de bolha a
contendo
de benzeno e
de tolueno é alimentada em uma torre de esgotamento a
de pressão. O produto de fundo é de
contendo somente
de benzeno e o restante de tolueno. Utilizando o método de McCabe-Thiele a partir do diagrama de equilíbrio, calcule a vazão do vapor no topo, a sua composição e o número de estágios teóricos requerido.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem devagarinho para não se perder):
- Vazão da alimentação (liquido no ponto de bolha):
. - Composição da alimentação (fração molar de benzeno):
(ou mol). - Pressão de operação:
. - Produto de fundo (bottoms):
. - Composição dos bottoms (fração molar de benzeno):
(ou mol). - O objetivo pedido é: calcular (1) a vazão do vapor no topo, (2) a composição do vapor no topo, e (3) o número de estágios teóricos requerido usando McCabe–Thiele a partir do diagrama de equilíbrio.
Observações importantes que já ficam claras só de ler o enunciado:
- Temos massa total e composição da alimentação e dos bottoms; portanto podemos obter a vazão e composição do destilado (distillate) por balanço de massa total e balanço da espécie (benzeno).
- Para usar McCabe–Thiele e obter o número de estágios reais, é necessário conhecer a curva de equilíbrio (ou uma aproximação via volatilidades/Lei de Raoult) e o razão de refluxo
(ou informação suficiente para encontrar a linha de operação). O enunciado não fornece nem a curva de equilíbrio nem o refluxo. Vou explicar isso com calma nos passos seguintes — por enquanto só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Calcular a vazão do destilado
por balanço total (isso é simples e sempre é o primeiro passo):
A equação de balanço total em regime estacionário é
Substituindo os valores:
Logo,
Explicação rápida do porquê: o que entra tem que sair; assim, a vazão do produto de topo é o que falta para completar a alimentação depois de subtrair os bottoms.
Passo 3
Calcular a composição do destilado (fração molar de benzeno em
), usando balanço de componente (benzeno):
A equação do balanço de benzeno é
onde:
-
é a fração de benzeno na alimentação, -
é a fração de benzeno no destilado (o que queremos), -
é a fração de benzeno nos bottoms.
Substituindo os números:
Calcule o lado esquerdo e o termo de bottoms:
Logo
Isolando
:
Interpretação: o destilado terá cerca de
mol de benzeno.
Passo 4
Comentar sobre a composição do vapor no topo (antes do condensador) e relação com o destilado.
- Se o condensador for total (condensação completa do vapor do topo), o vapor que sai do topo tem composição de vapor
que é a que entra no condensador; na condição de equilíbrio no condensador, o líquido destilado será igual à composição de equilíbrio do vapor que entrou (para condensador total, normalmente toma-se se o condensador for total e o líquido condensado está em equilíbrio com o vapor que chega). Portanto, para colunas com condensador total:
- Observação: o valor exato de
depende da temperatura e do equilíbrio vapor–líquido no topo. Se tivéssemos a curva de equilíbrio real (ou dados de Antoine para benz./tol.), poderíamos obter com maior precisão; mas para condensador total usando McCabe–Thiele costuma-se usar .
Passo 5
Explicar por que NÃO é possível determinar unicamente a vazão do vapor no topo (
) e o número de estágios teóricos exigidos sem informação adicional.
- O método de McCabe–Thiele exige a curva de equilíbrio
(ou uma aproximação pela volatilidade relativa) e também a linha de operação, que depende do refluxo (razão refluxo , onde é a vazão molar de refluxo). - A vazão molar de vapor no topo,
, está relacionada com o refluxo por uma balança total no condensador:
Sem conhecer
(ou outra condição que fixe
), não há como obter
numericamente — qualquer
diferente gera um
diferente.
- Similarmente, o número de estágios teóricos requerido depende fortemente do valor de
: ao aumentar (mais refluxo) o número de estágios diminui; ao diminuir aumenta o número de estágios. Assim, sem não existe única resposta para o número de estágios. O método McCabe–Thiele desenha a curva de equilíbrio e a(s) linha(s) de operação e “caminha” estágio a estágio — mas isso exige escolher .
Conclusão intermediária: com os dados fornecidos podemos obter
e
unicamente, e podemos obter a composição do vapor no topo assumindo condensador total (
). Já
e o número de estágios reais exigem a razão de refluxo
e a curva de equilíbrio (ou uma volatilidade relativa). Vou agora mostrar como proceder para obter o número mínimo de estágios (caso especial) e o que se faria com um
dado.
Passo 6
Calcular o número mínimo de estágios (caso especial: refluxo infinito / total reflux) usando a equação de Fenske — isso é útil porque dá um limite inferior (o menor número de estágios teóricos possível):
A fórmula de Fenske para o número mínimo de pratos teóricos
em total reflux (separações em equilíbrio ideal, para uma chave leve/ pesada) é
onde:
-
e são as frações molares do componente leve (aqui benzeno) no destilado e nos bottoms respectively, -
é a volatilidade relativa (assumida constante) do benzeno em relação ao tolueno, -
é logaritmo natural.
Explicação da fórmula (resumida): ela vem de aplicar a condição de equilíbrio constante por estágio em total reflux e relacionar as razões molares (light/heavy) entre topo e fundo.
Agora precisamos de
. O enunciado não deu a curva de equilíbrio nem constantes de Antoine. É comum, em problemas escolares de benzeno/tolueno a 1 atm, usar um valor típico de volatilidade relativa constante
(varia com temperatura, mas esse é um valor frequentemente utilizado como aproximação razoável). Vou assumir
(valor típico a 1 atm próximo às temperaturas de ebulição desta mistura). Aviso: se você tiver dados de equilíbrio mais precisos (ou as constantes de Antoine), a conta pode ser refinada.
Substituindo
,
e
:
Calcule a razão:
Primeiro numeradores:
Portanto a razão inteira:
Agora o
:
Cálculos numéricos:
Interpretação: o número mínimo de estágios teóricos sob total reflux é aproximadamente
. Como não podemos ter uma fração de estágio em prática, o número inteiro mínimo de pratos teóricos que atende essa separação em total reflux é
(ou seja, no total reflux seriam necessários pelo menos 5 pratos teóricos).
Observação pedagógica: isso é um limite baixo — com refluxo finito (o caso real) normalmente você precisa de mais pratos. Para obter o número de pratos para um refluxo
finito usa-se McCabe–Thiele (desenhar curva de equilíbrio e linhas de operação) ou aproximações como a correlação de Gilliland/Underwood + Fenske. Para aplicar McCabe–Thiele numericamente precisamos da curva de equilíbrio (ou de
para construir a curva por
) e do valor de
.
Passo 7
Mostrar explicitamente como encontrar
caso o refluxo
fosse conhecido — para você ver a relação e como eu calcularia se me passassem
:
- A vazão de refluxo
é . - A vazão de vapor no topo (antes do condensador) é
Exemplo numérico didático: se alguém dissesse que o refluxo adotado é
(refluxo igual ao destilado), então
Ou, se
, então
. Viu como
depende diretamente de
?
Passo 8
Resumo do que foi possível obter com os dados dados e do que não foi possível sem informação adicional:
- Foi possível calcular unicamente a vazão do destilado
e a sua composição . - Foi possível identificar a composição do vapor no topo sob a hipótese de condensador total (
). - NÃO foi possível determinar numericamente a vazão do vapor no topo (
) nem o número de estágios teóricos requerido para um refluxo finito, porque ambas as quantidades dependem do refluxo e da curva de equilíbrio (que não foram fornecidos). - Eu calculei também o número mínimo de pratos em total reflux (caso útil como limite teórico) usando a equação de Fenske e assumindo
; o resultado foi , isto é, pelo menos estágios teóricos no caso de refluxo infinito (total reflux).
Resposta
A vazão do vapor no topo
Número mínimo de pratos em total reflux (assumindo volatilidade relativa