Uma corrente líquida no seu ponto de bolha a 400 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} contendo 70 \mathrm{~mol} \% de benzeno e 30 \mathrm{~mol} \% de tolueno é alimentada em uma torre de esgotamento a 101,3 \mathrm{kPa} de pressão. O produto de fundo é de 60 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} contendo somente 10 \mathrm{~mol} \% de benzeno e o restante de tolueno. Utilizando o método de McCabe-Thiele a partir do diagrama de equilíbrio, calcule a vazão do vapor no topo, a sua composição e o número de estágios teóricos requerido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem devagarinho para não se perder):
  • Vazão da alimentação (liquido no ponto de bolha): \;F = 400\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição da alimentação (fração molar de benzeno): \;z_F = 0{,}70 (ou 70\% mol).
  • Pressão de operação: \;101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Produto de fundo (bottoms): \;B = 60\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição dos bottoms (fração molar de benzeno): \;x_B = 0{,}10 (ou 10\% mol).
  • O objetivo pedido é: calcular (1) a vazão do vapor no topo, (2) a composição do vapor no topo, e (3) o número de estágios teóricos requerido usando McCabe–Thiele a partir do diagrama de equilíbrio.
Observações importantes que já ficam claras só de ler o enunciado:
  • Temos massa total e composição da alimentação e dos bottoms; portanto podemos obter a vazão e composição do destilado (distillate) por balanço de massa total e balanço da espécie (benzeno).
  • Para usar McCabe–Thiele e obter o número de estágios reais, é necessário conhecer a curva de equilíbrio (ou uma aproximação via volatilidades/Lei de Raoult) e o razão de refluxo R (ou informação suficiente para encontrar a linha de operação). O enunciado não fornece nem a curva de equilíbrio nem o refluxo. Vou explicar isso com calma nos passos seguintes — por enquanto só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Calcular a vazão do destilado D por balanço total (isso é simples e sempre é o primeiro passo):
A equação de balanço total em regime estacionário é
F = D + B.
Substituindo os valores:
400 = D + 60.
Logo,
D = 400 - 60 = 340\\ \mathrm{kmol/h}.
Explicação rápida do porquê: o que entra tem que sair; assim, a vazão do produto de topo é o que falta para completar a alimentação depois de subtrair os bottoms.

Passo 3

Calcular a composição do destilado (fração molar de benzeno em D), usando balanço de componente (benzeno):
A equação do balanço de benzeno é
F z_F = D x_D + B x_B,
onde:
  • z_F é a fração de benzeno na alimentação,
  • x_D é a fração de benzeno no destilado (o que queremos),
  • x_B é a fração de benzeno nos bottoms.
Substituindo os números:
400 \cdot 0{,}70 = 340 \cdot x_D + 60 \cdot 0{,}10.
Calcule o lado esquerdo e o termo de bottoms:
400 \cdot 0{,}70 = 280, \qquad 60 \cdot 0{,}10 = 6.
Logo
280 = 340\,x_D + 6.
Isolando x_D:
340\,x_D = 280 - 6 = 274,
x_D = \frac{274}{340} \approx 0{,}805882.
Interpretação: o destilado terá cerca de 80{,}59\% mol de benzeno.

Passo 4

Comentar sobre a composição do vapor no topo (antes do condensador) e relação com o destilado.
  • Se o condensador for total (condensação completa do vapor do topo), o vapor que sai do topo tem composição de vapor y_{top} que é a que entra no condensador; na condição de equilíbrio no condensador, o líquido destilado x_D será igual à composição de equilíbrio do vapor que entrou (para condensador total, normalmente toma-se y_{top}=x_D se o condensador for total e o líquido condensado está em equilíbrio com o vapor que chega). Portanto, para colunas com condensador total:
y_{top} \approx x_D = 0{,}805882.
  • Observação: o valor exato de y_{top} depende da temperatura e do equilíbrio vapor–líquido no topo. Se tivéssemos a curva de equilíbrio real (ou dados de Antoine para benz./tol.), poderíamos obter y_{top} com maior precisão; mas para condensador total usando McCabe–Thiele costuma-se usar y_{top}=x_D.

Passo 5

Explicar por que NÃO é possível determinar unicamente a vazão do vapor no topo ( V_{top}) e o número de estágios teóricos exigidos sem informação adicional.
  • O método de McCabe–Thiele exige a curva de equilíbrio y = f(x) (ou uma aproximação pela volatilidade relativa) e também a linha de operação, que depende do refluxo R (razão refluxo \;R = L/D, onde L é a vazão molar de refluxo).
  • A vazão molar de vapor no topo, V_{top}, está relacionada com o refluxo por uma balança total no condensador:
V_{top} = L + D = (R + 1)\,D.
Sem conhecer R (ou outra condição que fixe L), não há como obter V_{top} numericamente — qualquer R diferente gera um V_{top} diferente.
  • Similarmente, o número de estágios teóricos requerido depende fortemente do valor de R: ao aumentar R (mais refluxo) o número de estágios diminui; ao diminuir R aumenta o número de estágios. Assim, sem R não existe única resposta para o número de estágios. O método McCabe–Thiele desenha a curva de equilíbrio e a(s) linha(s) de operação e “caminha” estágio a estágio — mas isso exige escolher R.
Conclusão intermediária: com os dados fornecidos podemos obter D e x_D unicamente, e podemos obter a composição do vapor no topo assumindo condensador total ( y_{top}\approx x_D). Já V_{top} e o número de estágios reais exigem a razão de refluxo R e a curva de equilíbrio (ou uma volatilidade relativa). Vou agora mostrar como proceder para obter o número mínimo de estágios (caso especial) e o que se faria com um R dado.

Passo 6

Calcular o número mínimo de estágios (caso especial: refluxo infinito / total reflux) usando a equação de Fenske — isso é útil porque dá um limite inferior (o menor número de estágios teóricos possível):
A fórmula de Fenske para o número mínimo de pratos teóricos N_{\min} em total reflux (separações em equilíbrio ideal, para uma chave leve/ pesada) é
N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)},
onde:
  • x_D e x_B são as frações molares do componente leve (aqui benzeno) no destilado e nos bottoms respectively,
  • \alpha é a volatilidade relativa (assumida constante) do benzeno em relação ao tolueno,
  • \ln é logaritmo natural.
Explicação da fórmula (resumida): ela vem de aplicar a condição de equilíbrio constante por estágio em total reflux e relacionar as razões molares (light/heavy) entre topo e fundo.
Agora precisamos de \alpha. O enunciado não deu a curva de equilíbrio nem constantes de Antoine. É comum, em problemas escolares de benzeno/tolueno a 1 atm, usar um valor típico de volatilidade relativa constante \alpha \approx 2{,}1 (varia com temperatura, mas esse é um valor frequentemente utilizado como aproximação razoável). Vou assumir \alpha = 2{,}13 (valor típico a 1 atm próximo às temperaturas de ebulição desta mistura). Aviso: se você tiver dados de equilíbrio mais precisos (ou as constantes de Antoine), a conta pode ser refinada.
Substituindo x_D = 0{,}805882, x_B = 0{,}10 e \alpha = 2{,}13:
Calcule a razão:
\frac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} = \frac{\dfrac{0{,}805882}{1-0{,}805882}}{\dfrac{0{,}10}{1-0{,}10}} = \frac{0{,}805882/0{,}194118}{0{,}10/0{,}90}.
Primeiro numeradores:
\frac{0{,}805882}{0{,}194118} \approx 4{,}154, \qquad \frac{0{,}10}{0{,}90} = 0{,}111111\ldots
Portanto a razão inteira:
\frac{4{,}154}{0{,}111111} \approx 37{,}386.
Agora o N_{\min}:
N_{\min} = \frac{\ln(37{,}386)}{\ln(2{,}13)}.
Cálculos numéricos:
\ln(37{,}386) \approx 3{,}620, \qquad \ln(2{,}13) \approx 0{,}755.
N_{\min} \approx \frac{3{,}620}{0{,}755} \approx 4{,}795.
Interpretação: o número mínimo de estágios teóricos sob total reflux é aproximadamente 4{,}795. Como não podemos ter uma fração de estágio em prática, o número inteiro mínimo de pratos teóricos que atende essa separação em total reflux é 5 (ou seja, no total reflux seriam necessários pelo menos 5 pratos teóricos).
Observação pedagógica: isso é um limite baixo — com refluxo finito (o caso real) normalmente você precisa de mais pratos. Para obter o número de pratos para um refluxo R finito usa-se McCabe–Thiele (desenhar curva de equilíbrio e linhas de operação) ou aproximações como a correlação de Gilliland/Underwood + Fenske. Para aplicar McCabe–Thiele numericamente precisamos da curva de equilíbrio (ou de \alpha para construir a curva por y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}) e do valor de R.

Passo 7

Mostrar explicitamente como encontrar V_{top} caso o refluxo R fosse conhecido — para você ver a relação e como eu calcularia se me passassem R:
  • A vazão de refluxo L é L = R \cdot D.
  • A vazão de vapor no topo (antes do condensador) é
V_{top} = L + D = (R+1)\,D.
Exemplo numérico didático: se alguém dissesse que o refluxo adotado é R = 1{,}0 (refluxo igual ao destilado), então
L = 1{,}0 \cdot 340 = 340\\ \mathrm{kmol/h},
V_{top} = (1+1)\cdot 340 = 680\\ \mathrm{kmol/h}.
Ou, se R=2, então V_{top} = 3\cdot 340 = 1020\\ \mathrm{kmol/h}. Viu como V_{top} depende diretamente de R?

Passo 8

Resumo do que foi possível obter com os dados dados e do que não foi possível sem informação adicional:
  • Foi possível calcular unicamente a vazão do destilado D e a sua composição x_D.
  • Foi possível identificar a composição do vapor no topo sob a hipótese de condensador total ( y_{top}\approx x_D).
  • NÃO foi possível determinar numericamente a vazão do vapor no topo ( V_{top}) nem o número de estágios teóricos requerido para um refluxo finito, porque ambas as quantidades dependem do refluxo R e da curva de equilíbrio (que não foram fornecidos).
  • Eu calculei também o número mínimo de pratos em total reflux (caso útil como limite teórico) usando a equação de Fenske e assumindo \alpha = 2{,}13; o resultado foi N_{\min}\approx 4{,}795, isto é, pelo menos 5 estágios teóricos no caso de refluxo infinito (total reflux).

Resposta

D = 340\\ \mathrm{kmol/h}
x_D = 0{,}805882 (ou 80{,}588\% mol de benzeno no destilado)
y_{top}\approx 0{,}805882 (para condensador total, composição do vapor no topo igual à do destilado)
A vazão do vapor no topo V_{top} não pode ser determinada sem a razão de refluxo R (pois V_{top}=(R+1)D).
Número mínimo de pratos em total reflux (assumindo volatilidade relativa \alpha=2{,}13): N_{\min}\approx 4{,}795, ou seja, pelo menos 5 estágios teóricos.

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