Em uma estação de tratamento, uma tubulação lança água horizontalmente a partir da borda de um patamar a 1,22 \mathrm{~m} de altura em relação ao solo. O jato percorre 1,40 \mathrm{~m} \mathrm{na} horizontal até atingir o chão. A resistência do ar é desprezível.
a) Qual é o módulo da velocidade da água ao sair da tubulação?
b) Qual é o módulo da velocidade da água ao atingir o solo?
Resp.: a) 2,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, b) 5,64 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação que lança água horizontalmente a partir de um patamar a 1{,}22\\ \mathrm{m} de altura em relação ao solo. O jato atinge o chão a uma distância horizontal de 1{,}40\\ \mathrm{m} da borda. A resistência do ar é desprezível. As perguntas são:
a) Qual é o módulo da velocidade da água ao sair da tubulação?
b) Qual é o módulo da velocidade da água ao atingir o solo?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
h = 1{,}22\\ \mathrm{m}
\Delta x = 1{,}40\\ \mathrm{m}
Aceleração da gravidade (valor usado):
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado passo a passo): quando um projétil é lançado horizontalmente (como a água aqui), o movimento se separa em duas partes independentes:
  • movimento horizontal: sem aceleração (se desprezarmos a resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade é constante.
  • movimento vertical: é uma queda livre a partir da altura h, com aceleração vertical para baixo igual a g.
Vamos nomear as quantidades:
v_{0x} = \text{componente horizontal da velocidade inicial (é a velocidade de saída que queremos)},éí
v_{y}(t) = \text{componente vertical da velocidade no instante }t,
t = \text{tempo que o jato leva para atingir o solo}.
O plano é: primeiro determinar t usando a queda livre vertical; depois obter v_{0x} usando a relação \Delta x = v_{0x}\,t; por fim calcular a velocidade total ao atingir o solo usando as componentes horizontal e vertical.

Passo 3

Determinar o tempo de queda t usando a equação do movimento vertical (queda livre). A fórmula da posição vertical em relação ao tempo, tomando para baixo deslocamento positivo e velocidade inicial vertical nula, é
h = \tfrac{1}{2} g t^{2}.
Aqui h é a altura, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo de queda. Isolando t:
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Substituindo os valores numéricos:
t = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}22}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{2{,}44}{9{,}8}} = \sqrt{0{,}24898\ldots} \approx 0{,}499\\ \mathrm{s}.
(Explanação: calculamos primeiro 2h, depois dividimos por g e por fim extraímos a raiz quadrada. O resultado é o tempo que a água demora para cair esses 1{,}22\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Determinar a velocidade horizontal inicial v_{0x}. Como a componente horizontal da velocidade é constante, a relação entre deslocamento horizontal e tempo é
\Delta x = v_{0x}\,t.
Logo,
v_{0x} = \frac{\Delta x}{t}.
Substituindo \Delta x = 1{,}40\\ \mathrm{m} e t \approx 0{,}499\\ \mathrm{s}:
v_{0x} = \frac{1{,}40}{0{,}499} \approx 2{,}8056\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais, como no gabarito):
v_{0x} \approx 2{,}81\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação prática: essa é a velocidade com que a água sai horizontalmente da tubulação.)

Passo 5

Determinar a componente vertical da velocidade no instante em que atinge o solo. A velocidade vertical cresce devido à gravidade segundo
v_{y}(t) = g\,t,
considerando que a velocidade vertical inicial é zero e tomando módulo (direção para baixo). Usando t \approx 0{,}499\\ \mathrm{s}:
v_{y} = 9{,}8 \times 0{,}499 \approx 4{,}890\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_{y} \approx 4{,}89\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade total ao atingir o solo. As componentes são perpendiculares (horizontal e vertical), então usamos o teorema de Pitágoras:
v = \sqrt{v_{0x}^{2} + v_{y}^{2}}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{(2{,}8056)^{2} + (4{,}890)^{2}} \approx \sqrt{7{,}869 + 23{,}90} = \sqrt{31{,}77} \approx 5{,}637\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
v \approx 5{,}64\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação: como havia componente horizontal e vertical, a velocidade final é maior que cada componente isolada.)

Passo 7

Verificação rápida de consistência: a velocidade inicial horizontal 2{,}81\\ \mathrm{m/s} multiplicada pelo tempo 0{,}499\\ \mathrm{s} dá aproximadamente 1{,}40\\ \mathrm{m} (a distância horizontal dada), e a combinação das componentes através de Pitágoras produz 5{,}64\\ \mathrm{m/s}, que coincide com o resultado esperado no enunciado. Ótimo — está consistente!

Resposta

a) 2{,}81\\ \mathrm{m/s}
b) 5{,}64\\ \mathrm{m/s}

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