- Uma corrente metálica de comprimento L , cujos extremos estão unidos, foi colocada em um disco de madeira. O disco gira com uma velocidade angular
.
Determine a tensão da corrente, sendo sua massa m.
Passo 1
O enunciado dá uma corrente metálica de comprimento
e massa
cujos extremos estão unidos (logo forma um laço/circunferência) colocada sobre um disco que gira com velocidade angular
. Pede-se determinar a tensão na corrente.
Informações relevantes:
- Comprimento da corrente:
. - Massa da corrente:
. - Corrente formen um círculo pois os extremos estão unidos; raio desse círculo é desconhecido inicialmente.
- Velocidade angular do disco (e da corrente):
.
O que precisamos encontrar: a tensão escalar
que atua ao longo da corrente quando ela gira com
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: relacionar o comprimento
com o raio
do círculo formado pela corrente. Como a corrente forma uma circunferência completa,
Logo o raio é
Passo 3
Definir a densidade linear de massa da corrente (massa por unidade de comprimento), pois isso facilita tratar um pequeno trecho da corrente:
Assim, um pequeno elemento de comprimento
tem massa
Usando coordenada angular, para um pequeno arco subtendido por ângulo
temos
, então
Passo 4
Calcular a velocidade tangencial de um ponto da corrente: um ponto a distância
do eixo com velocidade angular
tem velocidade linear
A aceleração centrípeta (direcionada para o centro) é
Passo 5
Analisar forças sobre um pequeno elemento de arco de ângulo
. Nas duas extremidades desse elemento atuam tensões
(mesma intensidade) direcionadas tangencialmente em direções que formam um ângulo
entre si. A resultante radial dessas duas tensões (aproximando para
pequeno) é
Para
infinitesimal vale
, portanto
Essa força radial deve fornecer a aceleração centrípeta ao elemento de massa
:
Passo 6
Substituir
e
na equação de equilíbrio radial:
Cancelar
em ambos os lados:
Agora substituir
e
:
Passo 7
Simplificar a expressão algébrica:
Portanto a tensão na corrente é