1. Uma corrente metálica de comprimento L , cujos extremos estão unidos, foi colocada em um disco de madeira. O disco gira com uma velocidade angular \omega.
Determine a tensão da corrente, sendo sua massa m.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente metálica de comprimento L e massa m cujos extremos estão unidos (logo forma um laço/circunferência) colocada sobre um disco que gira com velocidade angular \omega. Pede-se determinar a tensão na corrente.
Informações relevantes:
  • Comprimento da corrente: L.
  • Massa da corrente: m.
  • Corrente formen um círculo pois os extremos estão unidos; raio desse círculo é desconhecido inicialmente.
  • Velocidade angular do disco (e da corrente): \omega.
O que precisamos encontrar: a tensão escalar T que atua ao longo da corrente quando ela gira com \omega.

Passo 2

Primeiro passo técnico: relacionar o comprimento L com o raio R do círculo formado pela corrente. Como a corrente forma uma circunferência completa,
L = 2\pi R.
Logo o raio é
R = \frac{L}{2\pi}.

Passo 3

Definir a densidade linear de massa da corrente (massa por unidade de comprimento), pois isso facilita tratar um pequeno trecho da corrente:
\mu = \frac{m}{L}.
Assim, um pequeno elemento de comprimento ds tem massa
dm = \mu\, ds.
Usando coordenada angular, para um pequeno arco subtendido por ângulo d\theta temos ds = R\, d\theta, então
dm = \mu R\, d\theta.

Passo 4

Calcular a velocidade tangencial de um ponto da corrente: um ponto a distância R do eixo com velocidade angular \omega tem velocidade linear
v = \omega R.
A aceleração centrípeta (direcionada para o centro) é
a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2 R^2}{R} = \omega^2 R.

Passo 5

Analisar forças sobre um pequeno elemento de arco de ângulo d\theta. Nas duas extremidades desse elemento atuam tensões T (mesma intensidade) direcionadas tangencialmente em direções que formam um ângulo d\theta entre si. A resultante radial dessas duas tensões (aproximando para d\theta pequeno) é
F_{\text{rad}} = 2T\sin\!\left(\frac{d\theta}{2}\right).
Para d\theta infinitesimal vale \sin\!\left(\dfrac{d\theta}{2}\right)\approx \dfrac{d\theta}{2}, portanto
F_{\text{rad}} \approx 2T\cdot\frac{d\theta}{2} = T\, d\theta.
Essa força radial deve fornecer a aceleração centrípeta ao elemento de massa dm:
F_{\text{rad}} = dm\; a_c.

Passo 6

Substituir dm e a_c na equação de equilíbrio radial:
T\, d\theta = (\mu R\, d\theta)\,(\omega^2 R).
Cancelar d\theta em ambos os lados:
T = \mu R \,\omega^2 R = \mu \,\omega^2 R^2.
Agora substituir \mu = \dfrac{m}{L} e R = \dfrac{L}{2\pi}:
T = \frac{m}{L}\,\omega^2\left(\frac{L}{2\pi}\right)^{\!2}.

Passo 7

Simplificar a expressão algébrica:
T = \frac{m}{L}\,\omega^2\frac{L^{2}}{4\pi^{2}} = m\,\omega^2\,\frac{L}{4\pi^{2}}.
Portanto a tensão na corrente é
T = \frac{m\,\omega^{2}\,L}{4\pi^{2}}.

Resposta

T = \frac{m\,\omega^{2}\,L}{4\pi^{2}}

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