1. (2.0 pontos) Um capacitor com placas paralelas possui o espaço entre as placas preenchido com duas camadas de dielétricos, uma com constante dielétrica K_{1} e outra com constante dielétrica K_{2}>K_{1}. Cada camada possui espessura igual à distância d entre as placas e cada camada preenche o espaço entre as placas.
    (a) Explique com palavras como se dá a distribuição da carga induzida em cada um dos dielétricos e o comportamento do campo elétrico no interior dos dielétricos;
    (b) Determine a capacitância.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas cujo espaço entre as placas é preenchido por duas camadas planas de dielétrico colocadas uma em série com a outra ao longo da direção perpendicular às placas. As características fornecidas e o que se pede são:
  • Dados:
    • Cada camada tem espessura igual a \,d (ou seja: a primeira camada ocupa a distância d a partir de uma placa, e a segunda ocupa a distância d a partir da outra placa; o afastamento total entre as placas é portanto 2d).
    • As constantes dielétricas são K_{1} e K_{2}, com K_{2}>K_{1}.
    • As duas camadas preenchem toda a área entre as placas (a área comum das placas será chamada de A).
  • O enunciado pede:
    (a) explicar, com palavras, como se dá a distribuição da carga induzida em cada um dos dielétricos e como se comporta o campo elétrico no interior de cada dielétrico;
    (b) determinar a capacitância do conjunto.
Observação útil que vou usar: quando há simetria planar (placas grandes) e não há cargas livres nas superfícies internas entre os dielétricos, o deslocamento elétrico normal D é o mesmo em toda a coluna (constante ao longo da direção perpendicular às placas). Vou usar também Q para a carga livre total numa placa, \sigma = Q/A para a densidade de carga livre, e \epsilon_0 para a permissividade do vácuo; a permissividade de cada dielétrico é \epsilon_i=\epsilon_0 K_i.

Passo 2

Intuição física e fórmulas essenciais (aula curta para a prova).
  • Campo elétrico num dielétrico linear e homogêneo: \mathbf{D} = \epsilon\,\mathbf{E} = \epsilon_0 K\,\mathbf{E}. Aqui \mathbf{D} é o vetor deslocamento elétrico (unidade C/m^2), \mathbf{E} é o campo elétrico (V/m), \epsilon é a permissividade do material e K a constante dielétrica adimensional.
  • Polarização: \mathbf{P}=\epsilon_0 (K-1)\mathbf{E}. A polarização \mathbf{P} mede o momento dipolar por unidade de volume criado no dielétrico.
  • Carga ligada (induzida) na superfície de um dielétrico: a densidade de carga ligada de superfície é dada por \sigma_{\text{b}}=\mathbf{P}\cdot\hat{n}, onde \hat{n} é a normal saída do volume do dielétrico. Em interfaces entre dois dielétricos, a carga ligada de interface é a diferença das polarizações projetadas na normal.
  • Condição de continuidade de D na direção normal: se não há carga livre na interface, então a componente normal de \mathbf{D} é contínua. Para o nosso problema isto implica que o mesmo valor escalar D vale nas duas camadas.
Esses resultados são fáceis de lembrar e são os que uso para analisar distribuição de cargas e campos.

Passo 3

Determinar o campo elétrico nas duas camadas (passo prático).
  • Coloco carga livre +Q numa placa e -Q na outra; a densidade de carga livre na placa é \sigma = Q/A.
  • Pela simetria e pelas leis de Maxwell para placas planas sem cargas livres internas, o deslocamento normal é igual à densidade de carga livre: D = \sigma.Isto é, \,D=\sigma\, é constante nas duas camadas. (Explicação rápida: pela lei \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}, integrando sobre um pilar entre placas obtém-se D A = Q.)
  • Assim, o campo elétrico em cada camada é E_1=\frac{D}{\epsilon_0 K_1}=\frac{\sigma}{\epsilon_0 K_1}, \qquad E_2=\frac{D}{\epsilon_0 K_2}=\frac{\sigma}{\epsilon_0 K_2}.Note: como K_2>K_1, temos E_2<E_1. Ou seja, o campo elétrico é menor no dielétrico com maior constante dielétrica.
Interpretação física curta: maior K significa que o material polariza mais sob o mesmo D, o que reduz o campo E dentro dele.

Passo 4

Distribuição das cargas ligadas induzidas (resposta da parte (a), com fórmulas e sinais).
  • Polarizações nas regiões: P_1=\epsilon_0 (K_1-1) E_1 = \epsilon_0 (K_1-1)\frac{\sigma}{\epsilon_0 K_1} = \sigma\left(1-\frac{1}{K_1}\right),
P_2=\epsilon_0 (K_2-1) E_2 = \sigma\left(1-\frac{1}{K_2}\right).
Aqui escrevi P_i já na projeção normal (escalar), visto que tudo é unidimensional na direção perpendicular às placas.
  • Carga ligada na superfície do dielétrico adjacente à placa metálica: numa face onde o dielétrico toca a placa positiva, a densidade de carga ligada na superfície do dielétrico tem sinal oposto à polarização projetada nessa face e vale (magnitude) \sigma_{b,\text{face para placa}} = -P_i = -\sigma\left(1-\frac{1}{K_i}\right).Concretamente:
    • Na superfície do dielétrico 1 junto à placa positiva existe carga ligada de densidade \sigma_{b1}^{\text{(plaque)}} = -\sigma\left(1-\dfrac{1}{K_1}\right) (negativa).
    • Na superfície do dielétrico 2 junto à placa negativa existe carga ligada de densidade \sigma_{b2}^{\text{(plaque)}} = +\sigma\left(1-\dfrac{1}{K_2}\right) (positiva), porque o campo aponta da placa positiva para a negativa.
  • Carga ligada na interface entre os dois dielétricos: a densidade de carga ligada na interface (tomando a normal apontando do dielétrico 1 para o dielétrico 2) é a diferença das polarizações: \sigma_{b,\text{interface}} = P_1 - P_2 = \sigma\!\left(1-\frac{1}{K_1}\right) - \sigma\!\left(1-\frac{1}{K_2}\right) = \sigma\!\left(\frac{1}{K_2}-\frac{1}{K_1}\right).Observação sobre o sinal: como K_2>K_1 temos 1/K_2<1/K_1, logo \sigma_{b,\text{interface}}<0. Em palavras: haverá carga ligada negativa na face do dielétrico 2 que fica voltada para o dielétrico 1 (ou, dito de outro modo, carga ligada positiva na face do dielétrico 1 voltada para o dielétrico 2), dependendo da orientação escolhida para a normal. O importante para a prova é saber que as polarizações diferentes produzem carga ligada na interface cuja magnitude é dada por \sigma(1/K_2-1/K_1).
  • Resumo verbal (parte (a) em linguagem leve):
    • O deslocamento D é o mesmo nas duas camadas (porque não há cargas livres internas).
    • O campo E é maior na camada com menor constante K (ou seja, E_1>E_2 porque K_1<K_2).
    • Cada dielétrico se polariza e aparece carga ligada nas superfícies: cargas ligadas de sinal oposto à carga livre próxima nas faces em contato com as placas, e também surge uma carga ligada na interface entre os dielétricos por causa da diferença de polarização. A densidade dessas cargas é dada pelas fórmulas acima.

Passo 5

Cálculo da capacitância (parte (b)) — passo a passo para a prova.
  • A diferença de potencial entre as placas é a soma das quedas de potencial em cada camada: V = V_1 + V_2 = E_1 d + E_2 d.Substituindo E_i obtém-se V = \frac{\sigma d}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{K_1}+\frac{1}{K_2}\right).
  • A carga livre em uma placa é Q=\sigma A. A capacitância é C = Q/V. Substituindo \sigma = Q/A e a expressão de V: C = \frac{Q}{V} = \frac{\sigma A}{\dfrac{\sigma d}{\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{K_1}+\dfrac{1}{K_2}\right)} = \frac{\epsilon_0 A}{d}\cdot\frac{1}{\dfrac{1}{K_1}+\dfrac{1}{K_2}}.
  • Simplificando a fração: \frac{1}{\dfrac{1}{K_1}+\dfrac{1}{K_2}} = \frac{K_1 K_2}{K_1+K_2}.Portanto a capacitância final é C = \frac{\epsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K_1 K_2}{K_1+K_2}.Observação de entendimento: isso equivale a dizer que as duas camadas atuam como dois capacitores em série, cada um com capacitância C_i = \dfrac{\epsilon_0 K_i A}{d}; a combinação em série dá exatamente a expressão acima.

Passo 6

Comentário final de interpretação e dica de prova (aconchegante).
  • A ideia para decorar e aplicar rápido na prova: quando os dielétricos estão empilhados ao longo da separação entre placas (série), o deslocamento D é o mesmo; calcule E_i=D/(\epsilon_0 K_i), some as quedas de potencial e faça C=Q/V. Se os dielétricos estivessem lado a lado cobrindo frações da área (paralelo), aí cada região teria o mesmo E e as capacitâncias se somariam — atenção para não confundir as duas configurações na hora do exame. Você tá indo bem — foque em escrever D constante, E proporcional a 1/K e depois a fórmula de C.

Resposta

(a) O deslocamento normal D é o mesmo nas duas camadas e vale D=\sigma=Q/A. O campo elétrico em cada camada é
E_1=\frac{\sigma}{\epsilon_0 K_1},\qquad E_2=\frac{\sigma}{\epsilon_0 K_2},
logo E_1>E_2 porque K_2>K_1. Cada dielétrico polariza com P_i=\epsilon_0(K_i-1)E_i e isso produz cargas ligadas nas superfícies: nas faces junto às placas a densidade de carga ligada é \sigma_{b}=-\sigma\bigl(1-\dfrac{1}{K_i}\bigr) (sinal apropriado conforme a placa), e na interface entre os dielétricos a densidade de carga ligada é
\sigma_{b,\text{interface}}=\sigma\!\left(\frac{1}{K_2}-\frac{1}{K_1}\right).
(b) A capacitância vale
C=\frac{\epsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K_1 K_2}{K_1+K_2}.

Exercícios relacionados