- (2.0 pontos) Um capacitor com placas paralelas possui o espaço entre as placas preenchido com duas camadas de dielétricos, uma com constante dielétrica
e outra com constante dielétrica
. Cada camada possui espessura igual à distância
entre as placas e cada camada preenche o espaço entre as placas.
(a) Explique com palavras como se dá a distribuição da carga induzida em cada um dos dielétricos e o comportamento do campo elétrico no interior dos dielétricos;
(b) Determine a capacitância.
(a) Explique com palavras como se dá a distribuição da carga induzida em cada um dos dielétricos e o comportamento do campo elétrico no interior dos dielétricos;
(b) Determine a capacitância.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas cujo espaço entre as placas é preenchido por duas camadas planas de dielétrico colocadas uma em série com a outra ao longo da direção perpendicular às placas. As características fornecidas e o que se pede são:
- Dados:
- Cada camada tem espessura igual a
(ou seja: a primeira camada ocupa a distância a partir de uma placa, e a segunda ocupa a distância a partir da outra placa; o afastamento total entre as placas é portanto ). - As constantes dielétricas são
e , com . - As duas camadas preenchem toda a área entre as placas (a área comum das placas será chamada de
).
- Cada camada tem espessura igual a
- O enunciado pede:
(a) explicar, com palavras, como se dá a distribuição da carga induzida em cada um dos dielétricos e como se comporta o campo elétrico no interior de cada dielétrico;
(b) determinar a capacitância do conjunto.
Observação útil que vou usar: quando há simetria planar (placas grandes) e não há cargas livres nas superfícies internas entre os dielétricos, o deslocamento elétrico normal
é o mesmo em toda a coluna (constante ao longo da direção perpendicular às placas). Vou usar também
para a carga livre total numa placa,
para a densidade de carga livre, e
para a permissividade do vácuo; a permissividade de cada dielétrico é
.
Passo 2
Intuição física e fórmulas essenciais (aula curta para a prova).
- Campo elétrico num dielétrico linear e homogêneo:
. Aqui é o vetor deslocamento elétrico (unidade C/m^2), é o campo elétrico (V/m), é a permissividade do material e a constante dielétrica adimensional. - Polarização:
. A polarização mede o momento dipolar por unidade de volume criado no dielétrico. - Carga ligada (induzida) na superfície de um dielétrico: a densidade de carga ligada de superfície é dada por
, onde é a normal saída do volume do dielétrico. Em interfaces entre dois dielétricos, a carga ligada de interface é a diferença das polarizações projetadas na normal. - Condição de continuidade de
na direção normal: se não há carga livre na interface, então a componente normal de é contínua. Para o nosso problema isto implica que o mesmo valor escalar vale nas duas camadas.
Esses resultados são fáceis de lembrar e são os que uso para analisar distribuição de cargas e campos.
Passo 3
Determinar o campo elétrico nas duas camadas (passo prático).
- Coloco carga livre
numa placa e na outra; a densidade de carga livre na placa é . - Pela simetria e pelas leis de Maxwell para placas planas sem cargas livres internas, o deslocamento normal é igual à densidade de carga livre:
Isto é, é constante nas duas camadas. (Explicação rápida: pela lei , integrando sobre um pilar entre placas obtém-se .) - Assim, o campo elétrico em cada camada é
Note: como , temos . Ou seja, o campo elétrico é menor no dielétrico com maior constante dielétrica.
Interpretação física curta: maior
significa que o material polariza mais sob o mesmo
, o que reduz o campo
dentro dele.
Passo 4
Distribuição das cargas ligadas induzidas (resposta da parte (a), com fórmulas e sinais).
- Polarizações nas regiões:
Aqui escrevi
já na projeção normal (escalar), visto que tudo é unidimensional na direção perpendicular às placas.
- Carga ligada na superfície do dielétrico adjacente à placa metálica: numa face onde o dielétrico toca a placa positiva, a densidade de carga ligada na superfície do dielétrico tem sinal oposto à polarização projetada nessa face e vale (magnitude)
Concretamente: - Na superfície do dielétrico 1 junto à placa positiva existe carga ligada de densidade
(negativa). - Na superfície do dielétrico 2 junto à placa negativa existe carga ligada de densidade
(positiva), porque o campo aponta da placa positiva para a negativa.
- Na superfície do dielétrico 1 junto à placa positiva existe carga ligada de densidade
- Carga ligada na interface entre os dois dielétricos: a densidade de carga ligada na interface (tomando a normal apontando do dielétrico 1 para o dielétrico 2) é a diferença das polarizações:
Observação sobre o sinal: como temos , logo . Em palavras: haverá carga ligada negativa na face do dielétrico 2 que fica voltada para o dielétrico 1 (ou, dito de outro modo, carga ligada positiva na face do dielétrico 1 voltada para o dielétrico 2), dependendo da orientação escolhida para a normal. O importante para a prova é saber que as polarizações diferentes produzem carga ligada na interface cuja magnitude é dada por . - Resumo verbal (parte (a) em linguagem leve):
- O deslocamento
é o mesmo nas duas camadas (porque não há cargas livres internas). - O campo
é maior na camada com menor constante (ou seja, porque ). - Cada dielétrico se polariza e aparece carga ligada nas superfícies: cargas ligadas de sinal oposto à carga livre próxima nas faces em contato com as placas, e também surge uma carga ligada na interface entre os dielétricos por causa da diferença de polarização. A densidade dessas cargas é dada pelas fórmulas acima.
- O deslocamento
Passo 5
Cálculo da capacitância (parte (b)) — passo a passo para a prova.
- A diferença de potencial entre as placas é a soma das quedas de potencial em cada camada:
Substituindo obtém-se - A carga livre em uma placa é
. A capacitância é . Substituindo e a expressão de : - Simplificando a fração:
Portanto a capacitância final é Observação de entendimento: isso equivale a dizer que as duas camadas atuam como dois capacitores em série, cada um com capacitância ; a combinação em série dá exatamente a expressão acima.
Passo 6
Comentário final de interpretação e dica de prova (aconchegante).
- A ideia para decorar e aplicar rápido na prova: quando os dielétricos estão empilhados ao longo da separação entre placas (série), o deslocamento
é o mesmo; calcule , some as quedas de potencial e faça . Se os dielétricos estivessem lado a lado cobrindo frações da área (paralelo), aí cada região teria o mesmo e as capacitâncias se somariam — atenção para não confundir as duas configurações na hora do exame. Você tá indo bem — foque em escrever D constante, E proporcional a e depois a fórmula de .
Resposta
(a) O deslocamento normal
é o mesmo nas duas camadas e vale
. O campo elétrico em cada camada é
logo
porque
. Cada dielétrico polariza com
e isso produz cargas ligadas nas superfícies: nas faces junto às placas a densidade de carga ligada é
(sinal apropriado conforme a placa), e na interface entre os dielétricos a densidade de carga ligada é
(b) A capacitância vale