- (2.5 pontos) Um modelo bem simples para descrever as nuvens eletrônicas é tratar a densidade de elétrons a partir da expressão:
Considere o núcleo do átomo de hidrogênio como uma esfera de raio
com carga
uniformemente distribuída. E considere a nuvem eletrônica como uma casca esférica de raio interno
e raio externo
.
(a) Determine o campo elétrico para
;
(b) Determine o campo elétrico para
;
(c) Determine
para que o campo elétrico seja zero para
;
(a) Determine o campo elétrico para
(b) Determine o campo elétrico para
(c) Determine
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
- A densidade de carga da nuvem eletrônica é
(válida somente na região da nuvem). - O núcleo do átomo é modelado como uma esfera de raio
com carga total uniformemente distribuída no volume da esfera de raio . - A nuvem eletrônica é uma casca esférica com raio interno
e raio externo (ou seja, a densidade vale apenas para ).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o campo elétrico para .
(b) Determinar o campo elétrico para .
(c) Determinar o valor de tal que o campo elétrico seja zero para
.
(a) Determinar o campo elétrico para
(b) Determinar o campo elétrico para
(c) Determinar o valor de
Passo 2
Princípio físico e estratégia que usarei (explicação didática do método que vamos aplicar).
- Para sistemas com simetria esférica, uma ferramenta muito conveniente é utilizar a forma integral da lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
. Em fórmulas:
- Para uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada no mesmo ponto, devido à simetria, o campo tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Assim:
ou seja
- Aqui
é a permissividade do vácuo (constante elétrica). - Logo o passo-chave em cada região é calcular a carga total incluída pela esfera de raio
, , somando contribuição do núcleo (quando pertinente) e da nuvem (quando parte dela está dentro).
Passo 3
Calcular
e
para
— contribuição do núcleo apenas.
- O núcleo tem carga total
uniformemente distribuída no volume da esfera de raio . Para uma distribuição uniforme, a carga contida dentro de uma esfera de raio é proporcional ao volume:
- A nuvem eletrônica ocupa apenas
, então para nenhuma carga da nuvem está dentro da esfera de raio . Portanto
- Aplicando a forma reduzida da lei de Gauss para uma superfície esférica de raio
:
- Resultado para
: o campo cresce linearmente com :
- Observação física rápida: se a carga do núcleo for positiva (como
no H), o campo aponta para fora; se fosse negativo apontaria para dentro.
Passo 4
Verificação de continuidade em
(curiosidade útil na prova).
- Do lado interno, em
temos
- Isso será consistente com a expressão para
depois de calcular a região (deve dar o mesmo valor quando a densidade eletrônica não contribui exatamente no ponto de fronteira).
Passo 5
Calcular a carga da nuvem eletrônica contida entre
e um raio
tal que
.
- A densidade volumétrica é
(usei como variável de integração para não confundir com o raio da superfície gaussiana). - O elemento de volume esférico é
. Então a carga na camada infinitesimal entre e é:
- Note como os fatores
cancelam: é um ponto importante e simplifica muito a integral. - Integrando de
até obtemos a carga eletrônica contida entre e :
- Essa expressão vale somente para
.
Passo 6
Calcular
total e
para
.
- Agora, para
, a carga total dentro da esfera de raio é a soma da carga total do núcleo (agora toda contida, pois ) mais a carga da porção da nuvem até :
- Aplicando a lei de Gauss:
- Podemos escrever de forma um pouco mais explícita:
- Observação sobre o sentido do campo: o sinal de
determina se a nuvem é negativa ( ) ou positiva ( ); se a nuvem é eletrônica esperamos , o que reduz o campo externo produzido pelo núcleo.
Passo 7
Verificação de continuidade em
usando a expressão da região média.
- Tomando
na expressão do passo anterior:
que coincide com
calculado no Passo 4. Assim o campo é contínuo em
, como esperado para distribuições de carga volumétrica sem superfícies com carga concentrada.
Passo 8
Determinar
para que
para
.
- Para
toda a carga da nuvem foi incluída na carga encerrada: a carga total da nuvem é - A carga total encerrada para
é então
- O campo para
é (pela forma externa de uma carga total):
- Queremos
para . Como aparece apenas no denominador, a condição é que o numerador seja zero:
- Resolvendo para
:
- Observação física: esse
é negativo se , o que faz sentido — a nuvem eletrônica tem carga negativa que anula a carga positiva do núcleo, resultando carga total zero (átomo neutro) e, portanto, campo zero fora da nuvem.
Passo 9
Resumo físico final e dicas rápidas para a prova.
- Use sempre Gauss para simetria esférica: calcule primeiro
(somando contribuições) e então aplique . - No cálculo da carga da nuvem note o cancelamento
entre e , que transforma uma integral complicada numa integral simples em . - A condição de campo zero no exterior implica carga total nula:
carga do núcleo + carga total da nuvem = 0 .
Resposta
(a)
\quad para
(b)
\quad para
(c)