1. (2.5 pontos) Um modelo bem simples para descrever as nuvens eletrônicas é tratar a densidade de elétrons a partir da expressão:
\rho(r)=\frac{K}{r^{2}}
Considere o núcleo do átomo de hidrogênio como uma esfera de raio R com carga Q uniformemente distribuída. E considere a nuvem eletrônica como uma casca esférica de raio interno R e raio externo 10 R.
(a) Determine o campo elétrico para r<R;
(b) Determine o campo elétrico para R<r<10 R;
(c) Determine K para que o campo elétrico seja zero para r>10 R;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • A densidade de carga da nuvem eletrônica é \rho(r)=\dfrac{K}{r^{2}} (válida somente na região da nuvem).
  • O núcleo do átomo é modelado como uma esfera de raio R com carga total Q uniformemente distribuída no volume da esfera de raio R.
  • A nuvem eletrônica é uma casca esférica com raio interno R e raio externo 10R (ou seja, a densidade \rho(r) vale apenas para R\le r\le 10R).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o campo elétrico para r<R.
(b) Determinar o campo elétrico para R<r<10R.
(c) Determinar o valor de K tal que o campo elétrico seja zero para r>10R.

Passo 2

Princípio físico e estratégia que usarei (explicação didática do método que vamos aplicar).
  • Para sistemas com simetria esférica, uma ferramenta muito conveniente é utilizar a forma integral da lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0. Em fórmulas:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada no mesmo ponto, devido à simetria, o campo tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Assim:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
ou seja
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{enc}}}{r^{2}}.
  • Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante elétrica).
  • Logo o passo-chave em cada região é calcular a carga total incluída pela esfera de raio r, Q_{\text{enc}}(r), somando contribuição do núcleo (quando pertinente) e da nuvem (quando parte dela está dentro).

Passo 3

Calcular Q_{\text{enc}} e E para r<R — contribuição do núcleo apenas.
  • O núcleo tem carga total Q uniformemente distribuída no volume da esfera de raio R. Para uma distribuição uniforme, a carga contida dentro de uma esfera de raio r<R é proporcional ao volume:
Q_{\text{nuc,enc}}(r)=Q\cdot\frac{\text{vol. esfera de raio }r}{\text{vol. esfera de raio }R} =Q\cdot\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} =Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
  • A nuvem eletrônica ocupa apenas R\le r\le 10R, então para r<R nenhuma carga da nuvem está dentro da esfera de raio r. Portanto
Q_{\text{enc}}(r)=Q_{\text{nuc,enc}}(r)=Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
  • Aplicando a forma reduzida da lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\frac{r^{3}}{R^{3}}}{r^{2}} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r}{R^{3}}.
  • Resultado para r<R: o campo cresce linearmente com r:
\boxed{E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{r}{R^{3}}\quad(\text{para }r<R).}
  • Observação física rápida: se a carga do núcleo for positiva (como Q=+e no H), o campo aponta para fora; se Q fosse negativo apontaria para dentro.

Passo 4

Verificação de continuidade em r=R (curiosidade útil na prova).
  • Do lado interno, em r\to R^{-} temos
E(R^{-})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R}{R^{3}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}}.
  • Isso será consistente com a expressão para r\gtrsim R depois de calcular a região R<r<10R (deve dar o mesmo valor quando a densidade eletrônica não contribui exatamente no ponto de fronteira).

Passo 5

Calcular a carga da nuvem eletrônica contida entre R e um raio r tal que R<r<10R.
  • A densidade volumétrica é \rho(r')=\dfrac{K}{r'^{2}} (usei r' como variável de integração para não confundir com o raio da superfície gaussiana).
  • O elemento de volume esférico é dV=4\pi r'^{2}dr'. Então a carga na camada infinitesimal entre r' e r'+dr' é:
dq=\rho(r')\,dV=\frac{K}{r'^{2}}\cdot 4\pi r'^{2}dr'=4\pi K\,dr'.
  • Note como os fatores r'^{2} cancelam: é um ponto importante e simplifica muito a integral.
  • Integrando de r'=R até r'=r obtemos a carga eletrônica contida entre R e r:
Q_{\text{el,enc}}(r)=\int_{R}^{r}4\pi K\,dr'=4\pi K (r-R).
  • Essa expressão vale somente para R\le r\le 10R.

Passo 6

Calcular Q_{\text{enc}} total e E(r) para R<r<10R.
  • Agora, para R<r<10R, a carga total dentro da esfera de raio r é a soma da carga total do núcleo (agora toda contida, pois r>R) mais a carga da porção da nuvem até r:
Q_{\text{enc}}(r)=Q + Q_{\text{el,enc}}(r)=Q + 4\pi K (r-R).
  • Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q + 4\pi K (r-R)}{r^{2}}.
  • Podemos escrever de forma um pouco mais explícita:
\boxed{E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q+4\pi K (r-R)}{r^{2}}\quad(\text{para }R<r<10R).}
  • Observação sobre o sentido do campo: o sinal de K determina se a nuvem é negativa ( K<0) ou positiva ( K>0); se a nuvem é eletrônica esperamos K<0, o que reduz o campo externo produzido pelo núcleo.

Passo 7

Verificação de continuidade em r=R usando a expressão da região média.
  • Tomando r\to R^{+} na expressão do passo anterior:
E(R^{+})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q+4\pi K (R-R)}{R^{2}} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}},
que coincide com E(R^{-}) calculado no Passo 4. Assim o campo é contínuo em r=R, como esperado para distribuições de carga volumétrica sem superfícies com carga concentrada.

Passo 8

Determinar K para que E(r)=0 para r>10R.
  • Para r>10R toda a carga da nuvem foi incluída na carga encerrada: a carga total da nuvem é Q_{\text{el,tot}}= \int_{R}^{10R}4\pi K\,dr'=4\pi K(10R-R)=4\pi K\cdot 9R=36\pi K R.
  • A carga total encerrada para r>10R é então
Q_{\text{enc,tot}}=Q + 36\pi K R.
  • O campo para r>10R é (pela forma externa de uma carga total):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q+36\pi K R}{r^{2}}.
  • Queremos E(r)=0 para r>10R. Como r aparece apenas no denominador, a condição é que o numerador seja zero:
Q+36\pi K R=0.
  • Resolvendo para K:
\boxed{K=-\dfrac{Q}{36\pi R}.}
  • Observação física: esse K é negativo se Q>0, o que faz sentido — a nuvem eletrônica tem carga negativa que anula a carga positiva do núcleo, resultando carga total zero (átomo neutro) e, portanto, campo zero fora da nuvem.

Passo 9

Resumo físico final e dicas rápidas para a prova.
  • Use sempre Gauss para simetria esférica: calcule primeiro Q_{\text{enc}} (somando contribuições) e então aplique E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_{\text{enc}}}{r^{2}}.
  • No cálculo da carga da nuvem note o cancelamento r'^{2} entre \rho(r') e dV, que transforma uma integral complicada numa integral simples em dr'.
  • A condição de campo zero no exterior implica carga total nula: carga do núcleo + carga total da nuvem = 0 .

Resposta

(a) \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r}{R^{3}} \quad para \;r<R.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q+4\pi K (r-R)}{r^{2}} \quad para \;R<r<10R.
(c) \displaystyle K=-\frac{Q}{36\pi R}.

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