Uma corrente pequena, porém mensurável, de 1,2 times 10^-10 A, atravessa um fio de cobre com 2,5 mm de diâmetro. O número de portadores de carga por unidade de volume é e, 49 times 10^28 m^-3. Supondo que a corrente é uniforme, calcule (a) a densidade de corrente e (b) a velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente elétrica muito pequena, de 1,2 times 10^-10 A, que passa por um fio de cobre com diâmetro de 2,5 mm. Além disso, sabemos que o número de portadores de carga por unidade de volume é n = 49 times 10^28 m^-3. Precisamos calcular:
a) A densidade de corrente.
b) A velocidade de deriva dos elétrons.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade básica, especificamente a relação entre corrente, área da seção transversal do fio e densidade de corrente, além da relação entre densidade de corrente, número de portadores de carga e velocidade de deriva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente ( J). A densidade de corrente é definida como a corrente elétrica ( I) dividida pela área da seção transversal ( A) do fio:
J = IA
Para isso, precisamos encontrar a área da seção transversal do fio de cobre.

Passo 3

O fio tem um diâmetro de 2,5 mm. Primeiro, vamos converter esse diâmetro para metros:
d = 2,5 mm = 2,5 times 10^-3 m
O raio ( r) é metade do diâmetro:
r = d2 = 2,5 times 10^-32 = 1,25 times 10^-3 m

Passo 4

Agora, calculamos a área da seção transversal ( A) do fio, que é um círculo:
A = pi r^2 = pi times (1,25 times 10^-3 m)^2
A = pi times 1,5625 times 10^-6 m^2
A approx 4,9087 times 10^-6 m^2

Passo 5

Com a área calculada, podemos encontrar a densidade de corrente ( J):
J = IA = 1,2 times 10^-10 A4,9087 times 10^-6 m^2
J approx 2,445 times 10^-5 A/m^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade de deriva ( vd) dos elétrons. A velocidade de deriva está relacionada com a densidade de corrente, o número de portadores de carga por unidade de volume ( n) e a carga elementar ( e):
J = n e vd
Queremos encontrar vd, então rearranjamos a fórmula:
vd = Jn e
Sabemos que:
  • J approx 2,445 times 10^-5 A/m^2
  • n = 49 times 10^28 m^-3
  • e = 1,6 times 10^-19 C (carga elementar)

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
vd = 2,445 times 10^-5 A/m^249 times 10^28 m^-3 times 1,6 times 10^-19 C
Primeiro, multiplique n por e:
n e = 49 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 = 7,84 times 10^10 C/m^3
Agora, divida J por este valor:
vd = 2,445 times 10^-57,84 times 10^10 approx 3,12 times 10^-16 m/s

Resposta

a) A densidade de corrente é aproximadamente 2,45 times 10^-5 A/m^2.
b) A velocidade de deriva dos elétrons é aproximadamente 3,12 times 10^-16 m/s.

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