Prove no scr a identidade vetorial (A+B) cdot C equiv A cdot C+B cdot C.

Passo 1

O que queremos provar é a propriedade distributiva do produto interno (ou escalar) em R^n, ou seja, mostrar que
(A + B) cdot C ;=; AcdotC ;+; BcdotC
Para isso vamos recorrer à definição do produto interno em coordenadas e usar a distributividade da multiplicação sobre a adição em R.

Passo 2

Seja
A = (A1, A2, dots, An), B = (B1, B2, dots, Bn), C = (C1, C2, dots, Cn)
Então a soma A+B tem coordenadas
A + B = (A1 + B1,; A2 + B2,;dots,;An + Bn)

Passo 3

Pela definição do produto interno em R^n, temos
(A+B) cdot C = sumi=1^n (Ai + Bi),Ci = sumi=1^n l(Ai Ci + Bi Cir)
Neste último passo usamos a distributividade em R: (Ai + Bi),Ci = AiCi + BiCi.

Passo 4

Agora apenas separamos a soma em duas partes:
sumi=1^n l(Ai Ci + Bi Cir) = sumi=1^n Ai Ci ;+;sumi=1^n Bi Ci = Acdot C ;+;Bcdot C

Resposta

(A+B) cdot C ;=; AcdotC ;+; BcdotC

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