Uma corrente de reagente liquido ( 1 \mathrm{~mol} / \ell ) passa através de dois reatores de mistura perfeita em série. A concentração de A na saida do primeiro reator é 0,5 \mathrm{~mol} / \ell. Encontre a concentração na corrente de saida do segundo reator. A reação é de segunda ordem com relação a A e V_{2} / V_{1}=2.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:\n
  • Corrente de alimentação: \,1\\ \mathrm{mol}/\ell (concentração inicial de A).\n
  • Dois reatores de mistura perfeita (CSTR) em série.\n
  • Concentração de A na saída do primeiro reator: \,0{,}5\\ \mathrm{mol}/\ell.\n
  • A reação é de segunda ordem em A, isto é, a velocidade volumétrica de reação é \,r = k\,C^2, onde k é a constante de velocidade e C é a concentração de A.\n
  • Relação de volumes: \,V_2/V_1 = 2.\n
  • Pergunta: encontrar a concentração de A na saída do segundo reator (chamarei de C_2).\n

Passo 2

Vamos usar o balanço de massa em estado estacionário para um CSTR com reação homogênea. Escrevendo o balanço para o componente A no reator único (fluxo volumétrico F, volume do reator V, concentração de entrada C_{\text{in}} e saída C, taxa de reação volumétrica r=kC^2):
F\,C_{\text{in}} - F\,C - V\,k\,C^{2} = 0.
Explicando cada termo: F\,C_{\text{in}} é a taxa de entrada de A (mol/time), F\,C é a taxa de saída de A, e V\,k\,C^{2} é a taxa de consumo de A por reação dentro do volume. Rearranjando e dividindo por F usamos o tempo de residência \tau = V/F:
\frac{C_{\text{in}} - C}{\tau} = k\,C^{2}.
Essa forma é muito prática porque agrupa V e F como \tau. Aqui \tau tem unidade de tempo e representa quanto tempo médio o fluido permanece no reator.

Passo 3

Aplique o balanço ao primeiro reator. Para o primeiro reator temos \,C_{\text{in},1}=1\\ \mathrm{mol}/\ell e \,C_{1}=0{,}5\\ \mathrm{mol}/\ell. Denotando \tau_1 = V_1/F, a equação do passo anterior dá:
\frac{1 - 0{,}5}{\tau_1} = k\,\left(0{,}5\right)^{2}.
Multiplicando ambos os lados por \tau_1 obtemos uma combinação útil k\tau_1:
k\,\tau_1 = \frac{1 - 0{,}5}{\left(0{,}5\right)^{2}}.
Calcule o numerador e denominador:
k\,\tau_1 = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2.
Portanto obtemos a constante adimensional \,k\,\tau_1 = 2. Isso resume a informação do primeiro reator sem precisar conhecer k ou \tau_1 separadamente.

Passo 4

Relacionamos \tau_2 com \tau_1 usando a relação de volumes. Como \tau = V/F e \,V_2/V_1=2, segue que
\tau_2 = \frac{V_2}{F} = 2\,\frac{V_1}{F} = 2\,\tau_1.
Multiplicando por k obtemos
k\,\tau_2 = k\,(2\,\tau_1) = 2\,(k\,\tau_1) = 2\cdot 2 = 4,
pois do passo anterior k\,\tau_1 = 2. Assim \,k\,\tau_2 = 4.

Passo 5

Agora aplicamos o balanço ao segundo reator. A entrada do segundo reator é a saída do primeiro, ou seja \,C_{\text{in},2}=C_{1}=0{,}5. Chamaremos a saída do segundo reator de \,C_{2}. Usando a forma com \tau_2:
\frac{C_{\text{in},2} - C_{2}}{\tau_2} = k\,C_{2}^{2}.
Multiplicando ambos os lados por \tau_2 e substituindo k\,\tau_2=4 obtemos:
C_{\text{in},2} - C_{2} = (k\,\tau_2)\,C_{2}^{2} = 4\,C_{2}^{2}.
Como C_{\text{in},2}=0{,}5, a equação fica:
0{,}5 - C_{2} = 4\,C_{2}^{2}.

Passo 6

Reescrevemos a equação como uma equação quadrática em C_{2}. Passando tudo para o lado direito:
4\,C_{2}^{2} + C_{2} - 0{,}5 = 0.
Identificando coeficientes: a=4, b=1, c=-0{,}5. Use a fórmula quadrática C_{2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Primeiro calcule o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4\cdot 4 \cdot (-0{,}5) = 1 + 8 = 9.
Raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta} = 3.
Agora as raízes:
C_{2} = \frac{-1 \pm 3}{2\cdot 4} = \frac{-1 \pm 3}{8}.
Isso dá duas soluções:
C_{2}^{(1)} = \frac{-1 + 3}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25,
C_{2}^{(2)} = \frac{-1 - 3}{8} = \frac{-4}{8} = -0{,}5.

Passo 7

Condição física: concentração não pode ser negativa, logo descartamos C_{2}^{(2)} = -0{,}5\\ \mathrm{mol}/\ell. A solução fisicamente correta é
C_{2} = 0{,}25\\ \mathrm{mol}/\ell.
Interpretação rápida: a segunda ordem causa consumo mais rápido quando a concentração é alta; como o segundo reator tem volume duas vezes maior que o primeiro, a queda adicional leva C de 0{,}5 para 0{,}25.

Resposta

0{,}25\\ \mathrm{mol}/\ell

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