(Energia armazenada em capacitor) Um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} é carregado até 300 V .
(a) Calcule a energia armazenada no capacitor.
(b) Se a ddp for reduzida para 150 V (sem alterar a capacitância), qual é a nova energia armazenada?
(c) Qual fração da energia inicial foi perdida? Interprete fisicamente.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor com capacitância 10\\ \mu\mathrm{F} que é inicialmente carregado até 300\\ \mathrm{V}. Pede:
  • (a) a energia armazenada inicialmente;
  • (b) a nova energia se a ddp for reduzida para 150\\ \mathrm{V} (com a mesma capacitância);
  • (c) a fração da energia inicial que foi perdida e uma interpretação física.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Capacitância: C=10\\ \mu\mathrm{F}.
  • Tensão inicial: V_1=300\\ \mathrm{V}.
  • Tensão final: V_2=150\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Fórmula para a energia armazenada em um capacitor e sua origem (explicação didática): a energia elétrica armazenada no capacitor é o trabalho necessário para acumular carga nele. Se a carga no capacitor vale q e a capacitância é C, a diferença de potencial entre as placas é V=\dfrac{q}{C}. Ao acrescentar uma pequena carga dq quando a carga atual é q, o trabalho elementar é dW = V\,dq = \dfrac{q}{C}\,dq. Integrando desde carga zero até Q obtemos a energia total:
U=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\frac{1}{2}\,\frac{Q^{2}}{C}.
Como Q=CV, podemos escrever a mesma energia em função de C e V:
U=\frac{1}{2}\,C\,V^{2}.
Aqui:
  • U é a energia armazenada (em joules, \mathrm{J});
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F});
  • V é a diferença de potencial (em volts, \mathrm{V}).
Essa fórmula é importante na prova: memorize U=\dfrac{1}{2}CV^{2}. Note que U depende de V^{2}, então alterar V muda a energia em proporção ao quadrado da tensão.

Passo 3

Converter a capacitância para unidades padrão (farad):
C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a energia inicial usando U=\dfrac{1}{2}CV^{2} com V_1=300\\ \mathrm{V}:
U_1=\frac{1}{2}\,C\,V_1^{2} =\frac{1}{2}\times\left(1{,}0\times10^{-5}\right)\times(300)^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
(300)^{2}=90\,000,
1{,}0\times10^{-5}\times90\,000=0{,}9,
\frac{1}{2}\times0{,}9=0{,}45.
Portanto
U_1=0{,}45\\ \mathrm{J}.
Verificação de consistência de unidades: F\cdot V^{2}=\mathrm{C/V}\cdot V^{2}=\mathrm{C}\cdot V=\mathrm{J}, então a unidade está correta.

Passo 5

Calcular a nova energia com V_2=150\\ \mathrm{V}. Usando a mesma fórmula:
U_2=\frac{1}{2}\,C\,V_2^{2} =\frac{1}{2}\times\left(1{,}0\times10^{-5}\right)\times(150)^{2}.
Cálculo:
(150)^{2}=22\,500,
1{,}0\times10^{-5}\times22\,500=0{,}225,
\frac{1}{2}\times0{,}225=0{,}1125.
Portanto
U_2=0{,}1125\\ \mathrm{J}.
Observação útil para prova: como U\propto V^{2}, ao reduzir a tensão para a metade ( 150=300/2), a energia cai por um fator (1/2)^{2}=1/4. De fato U_2=U_1/4=0{,}45/4=0{,}1125\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a fração (ou percentagem) da energia inicial que foi perdida:
\text{energia perdida}=U_1-U_2=0{,}45-0{,}1125=0{,}3375\\ \mathrm{J}.
Fração perdida em relação à inicial:
\frac{U_1-U_2}{U_1}=1-\frac{U_2}{U_1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Em percentagem isso é 75\%.

Passo 7

Interpretação física (didática e amigável): quando a ddp do capacitor é reduzida de 300\\ \mathrm{V} para 150\\ \mathrm{V}, a carga armazenada também diminui e parte da energia que estava armazenada no campo elétrico do capacitor deixa de estar nele. Essa energia “perdida” não some magicamente; ela é dissipada no circuito durante o processo de redução de tensão — tipicamente transformada em calor em resistências ou espalhada como energia de radiação/oscilações se houver indutâncias, ou entregue ao gerador/companhia dependendo de como a redução é feita. Em muitos procedimentos práticos (por exemplo, conectar o capacitor a um resistor para descarregar até uma nova tensão), a maior parte da diferença de energia aparece como calor Joule no resistor. Se o capacitor for reconectado a uma fonte ideal de menor tensão, parte da energia pode ser transferida para a fonte, mas ainda haverá perdas dependendo da resistência do circuito e do processo; no caso ideal e reversível algumas transferências podem ser recuperadas, mas em situações reais grande parte vira calor. Aqui especificamente 75\% da energia inicial deixa o capacitor.
Dica rápida para a prova: lembrar que U\propto V^{2} permite responder rápido perguntas do tipo “se diminuir V pela metade, que fração da energia sobra?” — a resposta é 1/4.

Resposta

(a) U_1=0{,}45\\ \mathrm{J}
(b) U_2=0{,}1125\\ \mathrm{J}
(c) Fração perdida =0{,}75 (ou 75\%).

Exercícios relacionados