(Capacitores em associação) Dois capacitores, C_{1}=4.0 \mu \mathrm{~F} e C_{2}=6.0 \mu \mathrm{~F}, podem ser associados em série ou em paralelo a uma bateria de 12 V .
(a) Determine a capacitância equivalente nas associações em série e em paralelo.
(b) Para cada associação, calcule a carga total fornecida pela bateria.
(c) Na associação em série, determine a ddp em cada capacitor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os valores do enunciado).
  • Dados:
    • C_{1}=4{,}0\\ \mu\mathrm{F}
    • C_{2}=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}
    • V_{\text{bateria}}=12\\ \mathrm{V}
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a capacitância equivalente nas associações em série e em paralelo.
    • (b) Para cada associação, calcular a carga total fornecida pela bateria.
    • (c) Na associação em série, determinar a ddp (diferença de potencial) em cada capacitor.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (aulas rápidas e sem pular etapas):
  • Definição de capacitância: a carga Q armazenada num capacitor e a ddp V entre suas placas obedecem a
Q=C\,V,
onde C é a capacitância (unidade: farad, \mathrm{F}), Q é a carga (coulomb, \mathrm{C}) e V é a tensão (volt, \mathrm{V}). Aqui usamos microfarads \mu\mathrm{F} e microcoulombs \mu\mathrm{C} para facilidade.
  • Associação em paralelo:
    • Regra: as capacitâncias somam-se diretamente.
    C_{\text{eq, paralelo}} = C_1 + C_2.
    • Em paralelo, a ddp em cada capacitor é igual à ddp fornecida pela bateria, então cada capacitor tem carga Q_i = C_i V. A carga total fornecida pela bateria é a soma Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2=C_{\text{eq, paralelo}}V.
  • Associação em série:
    • Regra: os inversos se somam, equivalendo a
    \frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.é
    • Em série, a mesma carga Q atravessa todos os capacitores (mesma magnitude de carga em cada um). A ddp total V se divide entre os capacitores: V=V_1+V_2 com V_i=Q/C_i. A carga total fornecida pela bateria é Q_{\text{total}}=Q=C_{\text{eq, série}}Vé.

Passo 3

Cálculo da capacitância equivalente em paralelo (aplicando a fórmula acima).
C_{\text{eq, paralelo}}=C_1+C_2
C_{\text{eq, paralelo}}=4{,}0\\ \mu\mathrm{F}+6{,}0\\ \mu\mathrm{F}=10{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
Comentário rápido: somar capacitâncias em paralelo é análogo a somar áreas de placas; a capacitância total aumenta.

Passo 4

Cálculo da capacitância equivalente em série (aplicando a fórmula dos inversos).
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}é
Substituindo os valores (todos em \mu\mathrm{F}, a unidade cancela na razão):
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{4{,}0}+\frac{1}{6{,}0}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\\ \mu\mathrm{F}^{-1}.é
Logo
C_{\text{eq, série}}=\frac{12}{5}\\ \mu\mathrm{F}=2{,}4\\ \mu\mathrm{F}.é

Passo 5

Carga total fornecida pela bateria para a associação em paralelo.
Usando Q=C V com C=C_{\text{eq, paralelo}} e V=12\\ \mathrm{V}:
Q_{\text{paralelo}}=C_{\text{eq, paralelo}}\,V=10{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times12\\ \mathrm{V}=120{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
Convertendo para coulombs:
120{,}0\\ \mu\mathrm{C}=120{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Também é útil ver as cargas individuais em paralelo (pois cada capacitor tem a mesma ddp que a bateria):
Q_1=C_1 V=4{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times12\\ \mathrm{V}=48{,}0\\ \mu\mathrm{C},
Q_2=C_2 V=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times12\\ \mathrm{V}=72{,}0\\ \mu\mathrm{C},
e 48{,}0\\ \mu\mathrm{C}+72{,}0\\ \mu\mathrm{C}=120{,}0\\ \mu\mathrm{C}, conferindo que a soma bate.

Passo 6

Carga total fornecida pela bateria para a associação em série.
Em série a carga em cada capacitor tem a mesma magnitude Q. Podemos usar Q=C_{\text{eq, série}}Vé:
Q_{\text{serie}}=C_{\text{eq, série}}\,V=2{,}4\\ \mu\mathrm{F}\times12\\ \mathrm{V}=28{,}8\\ \mu\mathrm{C}.é
Convertendo:
28{,}8\\ \mu\mathrm{C}=28{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=2{,}88\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
Observação física: esse valor Q é a carga que aparece em cada placa do par de capacitores em série (mesma magnitude, sinais opostos entre placas internas).

Passo 7

Determinar a ddp em cada capacitor na associação em série.
Usamos V_i=Q/C_i para cada capacitor, com Q=28{,}8\\ \mu\mathrm{C}.
Para C_1:
V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{28{,}8\\ \mu\mathrm{C}}{4{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=\frac{28{,}8}{4{,}0}\\ \mathrm{V}=7{,}2\\ \mathrm{V}.
Para C_2:
V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{28{,}8\\ \mu\mathrm{C}}{6{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=\frac{28{,}8}{6{,}0}\\ \mathrm{V}=4{,}8\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: V_1+V_2=7{,}2\\ \mathrm{V}+4{,}8\\ \mathrm{V}=12\\ \mathrm{V}, que é a tensão da bateria — perfeito.

Resposta

(a) C_{\text{eq, série}}=2{,}4\\ \mu\mathrm{F}é \quad e \quad C_{\text{eq, paralelo}}=10{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
(b) Q_{\text{paralelo}}=120{,}0\\ \mu\mathrm{C}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{C} \quad e \quad Q_{\text{serie}}=28{,}8\\ \mu\mathrm{C}=2{,}88\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
(c) Na associação em série: V_1=7{,}2\\ \mathrm{V} (em C_1) e V_2=4{,}8\\ \mathrm{V} (em C_2).

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