Uma corrente tem valor RMS de 4 A. Determine o valor máximo.

Passo 1

O enunciado fornece o valor eficaz (RMS) da corrente e pede o valor máximo (pico). Informações e pedidos claros:
  • Dado: I_{\text{rms}} = 4\\ \text{A}.
  • Pedido: encontrar I_{\max} (valor máximo ou amplitude da corrente).

Passo 2

Entender o que é “valor eficaz (RMS)”. Definição prática e intuitiva:
  • Para uma corrente temporal periódica i(t) com período T, o valor eficaz é
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i^{2}(t)\,dt}.
  • Intuição: o RMS é o valor contínuo que produziria a mesma potência média em uma resistência que a corrente variável produz. É uma média quadrática (por isso o quadrado dentro da integral), seguida da raiz.

Passo 3

Assumir a forma da corrente mais comum em exercícios: senoide. Explico por que e o que muda em outros casos.
  • Se a corrente for senoidal, ela tem a forma
i(t)=I_{\max}\sin(\omega t),
onde:
  • I_{\max} é a amplitude (valor máximo) que queremos,
  • \omega é a pulsação (não precisamos do seu valor aqui).
  • Observação importante para a prova: quando o enunciado não diz o tipo de forma de onda, geralmente assume-se senoidal em cursos de circuitos/eletricidade; se fosse outra forma (quadrada, triangular), a relação entre RMS e pico seria diferente. Exemplo rápido:
    • Onda quadrada: I_{\text{rms}}=I_{\max}.
    • Onda triangular simétrica: I_{\text{rms}}=I_{\max}/\sqrt{3}.
      Mas para senóide (caso padrão) existe uma relação simples que vamos deduzir agora.

Passo 4

Calcular o RMS para a senoide passo a passo (a dedução que sempre cai na prova).
  • Partimos da definição:
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \big(I_{\max}\sin(\omega t)\big)^{2}\,dt} =\sqrt{\frac{I_{\max}^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}.
  • Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},
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\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{T}1\,dt-\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt.
  • O primeiro integral dá \dfrac{1}{2}T. O segundo integral é zero porque \cos(2\omega t) tem período T/2 e integra sobre um número inteiro de meias-oscilações ao longo de 0 a T; formalmente,
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt=\left.\frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right|_{0}^{T}=0.
  • Portanto
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}T.
  • Substituindo na expressão do RMS:
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{I_{\max}^{2}}{T}\cdot\frac{1}{2}T}=\sqrt{\frac{I_{\max}^{2}}{2}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Isolar I_{\max} e aplicar o número dado:
  • Da relação
I_{\text{rms}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}},
seguimos
I_{\max}=I_{\text{rms}}\sqrt{2}.
  • Substituindo I_{\text{rms}}=4\\ \text{A}:
I_{\max}=4\sqrt{2}\\ \text{A}.

Passo 6

Calcular numericamente com arredondamento prático (como faria na prova):
  • Sabendo que \sqrt{2}\approx1,41421356\ldots, então
I_{\max}=4\cdot1,41421356\ldots\\ \text{A}\approx5,656854\ldots\\ \text{A}.
  • Arredondando para três casas decimais (boa precisão para prova):
I_{\max}\approx5,657\\ \text{A}.

Resposta

I_{\max}=4\sqrt{2}\\ \text{A}\approx5,657\\ \text{A}

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