Para v(t)=50 \operatorname{sen}(100 \pi t), determine: frequência, período e valor RMS.

Passo 1

O enunciado dá a tensão em função do tempo
v(t)=50\sin\bigl(100\pi t\bigr).
As perguntas são: determinar (i) a frequência, (ii) o período e (iii) o valor RMS dessa tensão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude (valor de pico) é \,V_m=50.
  • O argumento do seno é 100\pi t, ou seja, a frequência angular aparente é \omega=100\pi (em rad/s).

Passo 2

Entender o que é frequência angular \omega e como ela se relaciona com a frequência f.
  • A frequência angular \omega mede quantos radianos por segundo a fase avança. Ela se relaciona com a frequência em hertz por
\omega = 2\pi f,
onde f é a frequência em hertz (Hz). Aqui \omega tem unidade \mathrm{rad/s} e f tem unidade \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular a frequência f usando \omega=100\pi. Aplicando \omega=2\pi f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{100\pi}{2\pi}.
Simplificando os \pi:
f=50.
Portanto a frequência é \,f=50\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular o período T. O período é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50}.
Em segundos:
T=0,02\\ \mathrm{s}.
Também é comum expressar em milissegundos:
T=20\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

Definir RMS e aplicar ao seno.
  • A definição de valor eficaz (RMS) para uma função periódica v(t) com período T é
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^{2}(t)\,dt}.
  • Para um seno puro v(t)=V_m\sin(\omega t) usa-se a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},
cuja média em um período é \tfrac{1}{2} porque o termo \cos(2x) integra zero sobre um período inteiro.

Passo 6

Calcular o RMS para o caso específico v(t)=50\sin(100\pi t). Substituindo na fórmula:
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} 50^{2}\sin^{2}(100\pi t)\,dt} =\sqrt{\frac{2500}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(100\pi t)\,dt }.
Usando que a média de \sin^{2} em um período é \tfrac{1}{2}, temos
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(100\pi t)\,dt=\frac{1}{2}.
Logo
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{2500\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{1250}=\frac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}.
Valor numérico aproximado:
V_{\mathrm{rms}}\approx 35,355\\ \mathrm{V}.

Resposta

f=50\\ \mathrm{Hz}
T=0,02\\ \mathrm{s} (ou 20\\ \mathrm{ms})
V_{\mathrm{rms}}=\dfrac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx 35,355\\ \mathrm{V}

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