(Correntes proporcionais) Em certos circuitos elétricos, dois ramos apresentam correntes diretamente proporcionais. Considere o conjunto:
A=(x, y) in R^2 mid x=3 y
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A = (x,y)inR^2 mid x=3y
e pergunta se ele é um espaço vetorial. O conteúdo é teste de subespaço vetorial de R^2, onde precisamos verificar:
  1. presença do vetor zero,
  2. fechamento sob adição,
  3. fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em A. O vetor zero é (0,0) e satisfaz
0 = 3cdot 0
Logo (0,0)in A.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam (x1,y1),(x2,y2)in A. Então
x1=3y1 e x2=3y2
O somatório é (x1+x2,;y1+y2) e
x1+x2 = 3y1 + 3y2 = 3(y1+y2),
logo (x1+x2,y1+y2)in A.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e (x,y)in A com x=3y. Então
alpha(x,y) = (alpha x,;alpha y)
e
alpha x = alphacdot3y = 3(alpha y),
portanto (alpha x,alpha y)in A.

Passo 5

Como A contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, concluímos que A é um subespaço de R^2, isto é, um espaço vetorial.

Resposta

Sim, A é um espaço vetorial (subespaço de R^2).

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