(Correntes proporcionais) Em certos circuitos elétricos, dois ramos apresentam correntes diretamente proporcionais. Considere o conjunto:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pergunta se ele é um espaço vetorial. O conteúdo é teste de subespaço vetorial de
, onde precisamos verificar:
- presença do vetor zero,
- fechamento sob adição,
- fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
. O vetor zero é
e satisfaz
Logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam
. Então
O somatório é
e
logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
com
. Então
e
portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço de
, isto é, um espaço vetorial.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial (subespaço de
).