Estudar a posição relativa das retas r1:ly=2 x-3 z=-x e r2:lx=1-3 t y=4-6 t z=3 t.
Resp: as retas são paralelas e não coincidentes.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em e
.
Queremos estudar a posição relativa delas, ou seja, verificar se são concorrentes, paralelas coincidentes ou paralelas distintas. Para isso vamos extrair as formas paramétricas, obter os vetores diretores e testar interseção.

Passo 2

Obtemos a forma paramétrica de r1 escolhendo x=s como parâmetro. Então
r1(s) = (x,y,z) = l(s,;2s-3,;-sr)
Um ponto de r1 é P1=(0,-3,0) (em s=0) e seu vetor diretor é
vec v1 = (1,2,-1)

Passo 3

Na reta r2 o parâmetro já é t. Logo
r2(t) = (1-3t,;4-6t,;3t)
Um ponto de r2 é P2=(1,4,0) (em t=0) e seu vetor diretor é
vec v2 = (-3,-6,3)
Note que vec v2 = -3,(1,2,-1) = -3,vec v1. Portanto as retas são paralelas ou coincidentes, pois têm vetores diretores proporcionais.

Passo 4

Para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas, tentamos encontrar uma interseção. Queremos s e t tais que
(s,,2s-3,,-s) = (1-3t,,4-6t,,3t)
Das componentes:
  1. s = 1 - 3t.
  2. 2s - 3 = 4 - 6t.
  3. -s = 3t.
Substituindo s=1-3t em (2):
2(1-3t)-3 = 4-6t implies 2 -6t -3 = 4 -6t implies -1 -6t = 4 -6t implies -1 = 4,
o que é impossível. Logo não há solução comum, ou seja, não se intersectam.

Resposta

As retas são paralelas e não coincidentes.

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