(Tensões trifásicas equilibradas) Na Engenharia Elétrica, o conjunto das tensões trifásicas equilibradas é fundamental e descrito por:
T=(Va, Vb, Vc) in R^3 mid Va+Vb+Vc=0
Verifique se esse conjunto possui as características necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
T = (Va,Vb,Vc)inR^3 mid Va+Vb+Vc=0
e pede para provar que T é um espaço vetorial com as operações usuais de R^3.
Como R^3 já é espaço vetorial, basta mostrar que T é um subespaço, ou seja, contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de R^3, (0,0,0), pertence a T. De fato,
0 + 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in T.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
x = (Va,Vb,Vc)in T, y = (Va',Vb',Vc')in T
Como Va+Vb+Vc=0 e Va'+Vb'+Vc'=0, então
(Va+Va')+(Vb+Vb')+(Vc+Vc') =(Va+Vb+Vc)+(Va'+Vb'+Vc') =0+0=0
Logo x+yin T.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Para alphainR e x=(Va,Vb,Vc)in T, temos
alpha Va + alpha Vb + alpha Vc =alpha,(Va+Vb+Vc) =alphacdot0=0,
portanto alpha xin T.

Resposta

T é subespaço de R^3 e, assim, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.

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