(2,5 pts) Seja r1 a reta que passa pelos pontos A=(-2,2) e B=(-5,4).
(a) Determine uma equação da reta r1;
(b) Determine, se existir, o ponto de interseção entre a reta r1 e a reta r2: y=-4 x-1.

Passo 1

O enunciado pede primeiro a equação da reta r1 que passa por A=(-2,2) e B=(-5,4). Em seguida, pede o ponto de interseção entre r1 e a reta r2colon y=-4x-1. Vamos usar:
  1. a fórmula do declive m=De<a yDe<a x para achar o coeficiente angular de r1;
  2. a forma reduzida y=mx+b para determinar o termo constante b;
  3. resolver o sistema formado por r1 e r2 para achar a interseção.

Passo 2

Calculamos o declive de r1 usando os pontos A e B:
m = yB-yAxB-xA = 4-2-5 -(-2) = 2-3 = -23

Passo 3

Com m=-tfrac23, usamos a forma y=mx+b. Substituindo A=(-2,2):
2 = l(-tfrac23r)cdot(-2) + b Longrightarrow 2 = tfrac43 + b Longrightarrow b = 2 - tfrac43 = tfrac23
Logo a equação de r1 é
boxedy = -23,x + 23
ou, em forma geral,
2x + 3y - 2 = 0

Passo 4

Para achar a interseção entre
r1colon y = -tfrac23x + tfrac23 e r2colon y = -4x -1
fazemos -tfrac23x + tfrac23 = -4x -1. Assim,
-tfrac23x + 4x = -1 - tfrac23 Longrightarrow 103x = -53 Longrightarrow x = -tfrac12
Substituindo em y=-4x-1,
y = -4l(-tfrac12r) - 1 = 2 - 1 = 1
O ponto de interseção é l(-tfrac12,1r).

Resposta

(a) A equação de r1 é
y = -23,x + 23 (ou 2x+3y-2=0)
(b) As retas intersectam-se em
l(-tfrac12,,1r)

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