As equações das retas tangentes à circunferência de equaçāo \wedge:(x-1)^{2}+y^{2}=9, traçada pelo ponto P(-3 ; 1), sāo:
a) \left\{\begin{array}{l}x \sqrt{7}+y+\sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-y-\sqrt{7}=0\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-7 y-9 \sqrt{7}=0\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7}=0 \\\\ -3 x \sqrt{7}-7 y-3 \sqrt{7}=0\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}x \sqrt{7}-y+\sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-y-\sqrt{7}=0\end{array}\right.
e) \left\{\begin{aligned} 3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7} & =0 \\\\ -3 x \sqrt{7}-7 y-9 \sqrt{7} & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as equações das retas tangentes à circunferência
(x-1)^{2}+y^{2}=9
que passam pelo ponto P(-3,1).
Informações dadas:
Centro da circunferência: C=(1,0) (pois a equação é (x-1)^2+(y-0)^2=3^2).
Raio da circunferência: r=3.
Ponto externo pelo qual as tangentes devem passar: P=(-3,1).
O objetivo final é determinar as duas retas que passam por P e são tangentes à circunferência.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática curta): vou representar uma reta genérica que passa por P pelo seu coeficiente angular m, obter sua equação, e impor a condição de tangência usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Por que isso funciona? Uma reta é tangente à circunferência se, e somente se, a distância do centro da circunferência C até essa reta for exatamente o raio r. Essa condição evita ter que lidar com interseção quadrática completa e é rápida para aplicar em prova.
Fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta ax+by+c=0:
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Vou usar essa fórmula com (x_0,y_0)=C=(1,0).
Passo 3
Escrever a equação geral da reta que passa por P usando o coeficiente angular m.
Reta com coeficiente angular m passando por P(-3,1):
y-1=m(x+3).
Isolando y,
y = m x + 3m + 1.
Colocando em forma ax+by+c=0 (para usar a fórmula da distância):
m x - y + (3m+1)=0.
Aqui a=m, b=-1, c=3m+1.
Passo 4
Aplicar a condição de tangência: a distância do centro C=(1,0) até a reta deve ser r=3.
Usando a fórmula da distância:
\frac{|a x_{C} + b y_{C} + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = 3.
Elevar ao quadrado para eliminar o módulo e a raiz (procedimento padrão; lembrando que ao elevar pode surgir solução extrânea, mas aqui o quadrado preserva as soluções para m já que a distância é não-negativa):
Escrever as equações das retas na forma explícita y=mx+b e também na forma linear Ax+By+C=0 multiplicada por 7 para eliminar denominadores racionais.
Forma y=mx+b:
Primeira reta:
y = \frac{-4 + 6\sqrt{2}}{7}\,x + \frac{-5 + 18\sqrt{2}}{7}.
Segunda reta:
y = \frac{-4 - 6\sqrt{2}}{7}\,x + \frac{-5 - 18\sqrt{2}}{7}.
Multiplicando cada equação por 7 e colocando em forma A x + B y + C = 0:
Primeira reta:
(-4 + 6\sqrt{2})\,x - 7y + (-5 + 18\sqrt{2}) = 0.
Segunda reta:
(-4 - 6\sqrt{2})\,x - 7y + (-5 - 18\sqrt{2}) = 0.
Pode-se multiplicar toda equação por -1 se preferir sinais iniciais positivos; isso não altera a reta.
Passo 9
Verificação rápida (controle): substituir x=-3, y=1 em uma das equações na forma y=mx+b deve satisfazer a igualdade porque construímos b para que a reta passe por P. Também a condição da distância garante tangência. Assim as duas retas obtidas são as tangentes buscadas.