As equações das retas tangentes à circunferência de equaçāo \wedge:(x-1)^{2}+y^{2}=9, traçada pelo ponto P(-3 ; 1), sāo:
a) \left\{\begin{array}{l}x \sqrt{7}+y+\sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-y-\sqrt{7}=0\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-7 y-9 \sqrt{7}=0\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7}=0 \\\\ -3 x \sqrt{7}-7 y-3 \sqrt{7}=0\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}x \sqrt{7}-y+\sqrt{7}=0 \\\\ -x \sqrt{7}-y-\sqrt{7}=0\end{array}\right.
e) \left\{\begin{aligned} 3 x \sqrt{7}-7 y+9 \sqrt{7} & =0 \\\\ -3 x \sqrt{7}-7 y-9 \sqrt{7} & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações das retas tangentes à circunferência
(x-1)^{2}+y^{2}=9
que passam pelo ponto P(-3,1).
Informações dadas:
  • Centro da circunferência: C=(1,0) (pois a equação é (x-1)^2+(y-0)^2=3^2).
  • Raio da circunferência: r=3.
  • Ponto externo pelo qual as tangentes devem passar: P=(-3,1).
O objetivo final é determinar as duas retas que passam por P e são tangentes à circunferência.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática curta): vou representar uma reta genérica que passa por P pelo seu coeficiente angular m, obter sua equação, e impor a condição de tangência usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Por que isso funciona? Uma reta é tangente à circunferência se, e somente se, a distância do centro da circunferência C até essa reta for exatamente o raio r. Essa condição evita ter que lidar com interseção quadrática completa e é rápida para aplicar em prova.
Fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta ax+by+c=0:
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Vou usar essa fórmula com (x_0,y_0)=C=(1,0).

Passo 3

Escrever a equação geral da reta que passa por P usando o coeficiente angular m.
Reta com coeficiente angular m passando por P(-3,1):
y-1=m(x+3).
Isolando y,
y = m x + 3m + 1.
Colocando em forma ax+by+c=0 (para usar a fórmula da distância):
m x - y + (3m+1)=0.
Aqui a=m, b=-1, c=3m+1.

Passo 4

Aplicar a condição de tangência: a distância do centro C=(1,0) até a reta deve ser r=3.
Usando a fórmula da distância:
\frac{|a x_{C} + b y_{C} + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = 3.
Substituindo a=m, b=-1, c=3m+1, x_{C}=1, y_{C}=0:
\frac{|m\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + (3m+1)|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}} = 3.
Simplificando o numerador:
\frac{|m + 3m + 1|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 3,
ou seja
\frac{|4m+1|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 3.

Passo 5

Elevar ao quadrado para eliminar o módulo e a raiz (procedimento padrão; lembrando que ao elevar pode surgir solução extrânea, mas aqui o quadrado preserva as soluções para m já que a distância é não-negativa):
(4m+1)^{2} = 9(m^{2}+1).
Desenvolvendo os dois lados:
16m^{2}+8m+1 = 9m^{2}+9.
Passando todos os termos para um lado:
7m^{2} + 8m - 8 = 0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática em m:
7m^{2} + 8m - 8 = 0.
Coeficientes: A=7, B=8, C=-8.
Discriminante:
\Delta = B^{2} - 4AC = 8^{2} - 4\cdot 7\cdot(-8) = 64 + 224 = 288.
\sqrt{\Delta} = \sqrt{288} = \sqrt{144\cdot 2} = 12\sqrt{2}.
Portanto as raízes:
m = \frac{-8 \pm 12\sqrt{2}}{2\cdot 7} = \frac{-8 \pm 12\sqrt{2}}{14} = \frac{-4 \pm 6\sqrt{2}}{7}.

Passo 7

Obter as ordenadas ao coeficiente linear b de cada reta (lembre que b=3m+1 da equação y=mx+b).
Para m_{1}=\dfrac{-4 + 6\sqrt{2}}{7}:
b_{1} = 3m_{1}+1 = 3\cdot \frac{-4 + 6\sqrt{2}}{7} + 1 = \frac{-12 + 18\sqrt{2}}{7} + \frac{7}{7} = \frac{-5 + 18\sqrt{2}}{7}.
Para m_{2}=\dfrac{-4 - 6\sqrt{2}}{7}:
b_{2} = 3m_{2}+1 = \frac{-12 - 18\sqrt{2}}{7} + \frac{7}{7} = \frac{-5 - 18\sqrt{2}}{7}.

Passo 8

Escrever as equações das retas na forma explícita y=mx+b e também na forma linear Ax+By+C=0 multiplicada por 7 para eliminar denominadores racionais.
Forma y=mx+b:
Primeira reta:
y = \frac{-4 + 6\sqrt{2}}{7}\,x + \frac{-5 + 18\sqrt{2}}{7}.
Segunda reta:
y = \frac{-4 - 6\sqrt{2}}{7}\,x + \frac{-5 - 18\sqrt{2}}{7}.
Multiplicando cada equação por 7 e colocando em forma A x + B y + C = 0:
Primeira reta:
(-4 + 6\sqrt{2})\,x - 7y + (-5 + 18\sqrt{2}) = 0.
Segunda reta:
(-4 - 6\sqrt{2})\,x - 7y + (-5 - 18\sqrt{2}) = 0.
Pode-se multiplicar toda equação por -1 se preferir sinais iniciais positivos; isso não altera a reta.

Passo 9

Verificação rápida (controle): substituir x=-3, y=1 em uma das equações na forma y=mx+b deve satisfazer a igualdade porque construímos b para que a reta passe por P. Também a condição da distância garante tangência. Assim as duas retas obtidas são as tangentes buscadas.

Resposta

(-4 + 6\sqrt{2})x - 7y + (-5 + 18\sqrt{2}) = 0
(-4 - 6\sqrt{2})x - 7y + (-5 - 18\sqrt{2}) = 0

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