É correto afirmar que o operador T tal que [T]=[ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1] é diagonalizável? Em caso positivo, determine a base B que diagonalize T e a matriz diagonal [T]B.

Passo 1

Estamos num espaço real de dimensão 3 e temos o operador TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
Queremos verificar se ele é diagonalizável sobre R. Para isso vamos precisar do polinômio característico e dos autovalores reais de T, e depois checar se há três autovetores reais linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
chiT(lambda) =detl([T]-lambda Ir) =det 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda
Expansão pela primeira linha dá
chiT(lambda) =(1-lambda)cdot det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)(-1-lambda)-(-2)cdot1r)
Simplificando o determinante menor:
(1-lambda)(-1-lambda)-(-2) =-(1-lambda)(1+lambda)+2 =-l(1-lambda^2r)+2 =lambda^2+1
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chiT(lambda)=(1-lambda),(lambda^2+1)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiT(lambda). Temos
lambda=1 e lambda^2+1=0implies lambda=pm i
No corpo real só aparece o autovalor lambda=1 (multiplicidade algébrica 1); os outros dois são complexos não reais.

Passo 4

Para haver diagonalização sobre R precisaríamos de três autovetores reais linearmente independentes, isto é, três autovalores reais (ou pelo menos autovalores reais com multiplicidade geométrica adequada). Mas aqui só há um autovalor real lambda=1. O fator lambda^2+1 é irreduzível sobre R, não gera autovalores reais adicionais.

Resposta

O operador T não é diagonalizável sobre R.

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