É correto afirmar que o operador tal que é diagonalizável? Em caso positivo, determine a base B que diagonalize T e a matriz diagonal [T]B.
Passo 1
Estamos num espaço real de dimensão 3 e temos o operador TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
Queremos verificar se ele é diagonalizável sobre R. Para isso vamos precisar do polinômio característico e dos autovalores reais de T, e depois checar se há três autovetores reais linearmente independentes.
Os autovalores são as raízes de chiT(lambda). Temos
lambda=1 e lambda^2+1=0implies lambda=pm i
No corpo real só aparece o autovalor lambda=1 (multiplicidade algébrica 1); os outros dois são complexos não reais.
Passo 4
Para haver diagonalização sobre R precisaríamos de três autovetores reais linearmente independentes, isto é, três autovalores reais (ou pelo menos autovalores reais com multiplicidade geométrica adequada). Mas aqui só há um autovalor real lambda=1. O fator lambda^2+1 é irreduzível sobre R, não gera autovalores reais adicionais.