É correto afirmar que, na sequência de Fibonacci 1,1,2,3,5, \ldots, dos dez dígitos (0,1,2, \ldots, 9) o último a aparecer na posição das unidades para um número na sequência é
A) 0 .
B) 4.
C) 6 .
D) 7.
E) 9.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de Fibonacci 1,1,2,3,5,\ldots e pergunta: entre os dez dígitos (0,1,2,\ldots,9), qual é o dígito que aparece por último na posição das unidades de um termo da sequência?
Informações relevantes: a sequência de Fibonacci segue a recorrência F_1=1, F_2=1 e, para n\ge3, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}. A pergunta quer saber qual dígito (uma entre as alternativas A) 0, B) 4, C) 6, D) 7, E) 9) tem a maior posição de primeira ocorrência no último algarismo de F_n.

Passo 2

Ideia do método (explicada com calma): estudar apenas o algarismo das unidades de F_n. Isso equivale a trabalhar com F_n mod 10. A recorrência em módulo 10 é
F_{n+1}\equiv F_n+F_{n-1}\pmod{10}.
Como cada termo dos algarismos das unidades só pode ser 0,1,\dots,9, a sequência dos pares \big(F_n\bmod 10,\;F_{n+1}\bmod 10\big) é finita e portanto periódica (essa é a ideia do período de Pisano). Na prática, basta calcular os algarismos das unidades começando em F_1 até que tenhamos as primeiras aparições de todos os dígitos ou até confirmar um período. Aqui vamos gerar os últimos algarismos termo a termo e anotar a primeira posição em que cada dígito aparece.

Passo 3

Calcular os algarismos das unidades termo a termo usando a recorrência (cada linha mostra n e o algarismo das unidades de F_n):
\begin{array}{r@{\\ }l} n=1: & 1\\\ n=2: & 1\\\ n=3: & 2\\\ n=4: & 3\\\ n=5: & 5\\\ n=6: & 8\\\ n=7: & 3\\\ n=8: & 1\\\ n=9: & 4\\\ n=10: & 5\\\ n=11: & 9\\\ n=12: & 4\\\ n=13: & 3\\\ n=14: & 7\\\ n=15: & 0\\\ n=16: & 7\\\ n=17: & 7\\\ n=18: & 4\\\ n=19: & 1\\\ n=20: & 5\\\ n=21: & 6 \end{array}
Observação sobre como se calculou: por exemplo, para n=7 usa-se o fato de que o algarismo de F_7 é o algarismo de (\text{algarismo de }F_6)+(\text{algarismo de }F_5) módulo 10, ou seja 8+5\equiv3\pmod{10}. Repetir esse passo dá a lista acima.

Passo 4

Determinar a primeira ocorrência de cada dígito entre 0 e 9 a partir da lista:
  • dígito 1: aparece primeiro em n=1.
  • dígito 2: aparece primeiro em n=3.
  • dígito 3: aparece primeiro em n=4.
  • dígito 4: aparece primeiro em n=9.
  • dígito 5: aparece primeiro em n=5.
  • dígito 6: aparece primeiro em n=21.
  • dígito 7: aparece primeiro em n=14.
  • dígito 8: aparece primeiro em n=6.
  • dígito 9: aparece primeiro em n=11.
  • dígito 0: aparece primeiro em n=15.
Explanação curta: foi feita leitura direta da sequência de algarismos das unidades obtida no passo anterior e registrado, para cada dígito, a menor n em que ele aparece.

Passo 5

Comparar as primeiras posições encontradas: os índices de primeira ocorrência são
\{1,3,4,9,5,21,14,6,11,15\}
respectivamente para os dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. O maior desses índices é 21, que corresponde ao dígito 6. Portanto, entre os dez dígitos, o que aparece por último na posição das unidades de um número da sequência de Fibonacci é o 6.

Resposta

C) 6

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