É correto afirmar que, na sequência de Fibonacci
, dos dez dígitos
o último a aparecer na posição das unidades para um número na sequência é
A) 0 .
B) 4.
C) 6 .
D) 7.
E) 9.
A) 0 .
B) 4.
C) 6 .
D) 7.
E) 9.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de Fibonacci
e pergunta: entre os dez dígitos
, qual é o dígito que aparece por último na posição das unidades de um termo da sequência?
Informações relevantes: a sequência de Fibonacci segue a recorrência ,
e, para
,
. A pergunta quer saber qual dígito (uma entre as alternativas A)
, B)
, C)
, D)
, E)
) tem a maior posição de primeira ocorrência no último algarismo de
.
Informações relevantes: a sequência de Fibonacci segue a recorrência
Passo 2
Ideia do método (explicada com calma): estudar apenas o algarismo das unidades de
. Isso equivale a trabalhar com
mod
. A recorrência em módulo
é
Como cada termo dos algarismos das unidades só pode ser
, a sequência dos pares
é finita e portanto periódica (essa é a ideia do período de Pisano). Na prática, basta calcular os algarismos das unidades começando em
até que tenhamos as primeiras aparições de todos os dígitos ou até confirmar um período. Aqui vamos gerar os últimos algarismos termo a termo e anotar a primeira posição em que cada dígito aparece.
Passo 3
Calcular os algarismos das unidades termo a termo usando a recorrência (cada linha mostra
e o algarismo das unidades de
):
Observação sobre como se calculou: por exemplo, para
usa-se o fato de que o algarismo de
é o algarismo de
módulo
, ou seja
. Repetir esse passo dá a lista acima.
Passo 4
Determinar a primeira ocorrência de cada dígito entre
e
a partir da lista:
- dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em . - dígito
: aparece primeiro em .
Explanação curta: foi feita leitura direta da sequência de algarismos das unidades obtida no passo anterior e registrado, para cada dígito, a menor
em que ele aparece.
Passo 5
Comparar as primeiras posições encontradas: os índices de primeira ocorrência são
respectivamente para os dígitos
. O maior desses índices é
, que corresponde ao dígito
. Portanto, entre os dez dígitos, o que aparece por último na posição das unidades de um número da sequência de Fibonacci é o
.
Resposta
C)