Um corretor de seguros vende uma apólice que possui uma franquia de 100 u.m. (unidades monetárias) e um limite máximo de 5000 u.m…
Isso significa que, quando o segurado faz uma reivindicação, ele deve pagar os primeiros 100 u.m. e a companhia de seguros pagará no máximo 5000 u.m. Qualquer valor excedente deve ser pago pelo segurado. Suponha que o valor da reivindicação continue com f.d.p.
f_{x}(x)=\left\{\begin{array}{l}(1+x)^{-2} \\\\ 0 \text { c.c. }\end{array}\right.
Seja Y o valor que a companhia de seguros deve pagar na reivindicação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede implicitamente que a gente encontre as características de Y\), o valor que a companhia de seguros paga: - Franquia (dedutível): \(100\) u.m. (o segurado paga os primeiros \(100\)). - Limite máximo de pagamento pela seguradora: \(5000\) u.m. (a seguradora paga no máximo \(5000\); o excedente é do segurado). - A variável aleatória do valor da reivindicação tem f.d.p. \[f_{X}(x)=\begin{cases} (1+x)^{-2}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
  • Definimos (Y] como o valor pago pela seguradora na reivindicação.
Perguntas que vamos responder (sem assumir nada além do enunciado):
  • Qual é a lei (distribuição) de Y? (ou seja, massa em pontos e densidade contínua quando houver)
  • Qual é \mathbb{E}(Y)?]

Passo 2

Vamos relacionar Y com X (essa é a peça chave). Dependendo de X:
  • Se X\le 100, o segurado paga tudo (franquia) e a seguradora paga nada, então Y=0.
  • Se 100<X<5100, a seguradora paga o que excede a franquia, sem atingir o limite, então Y=X-100.
  • Se X\ge 5100, então X-100\ge 5000 e a seguradora paga o limite máximo 5000, ou seja Y=5000.
Portanto podemos escrever a relação peçawise:
Y=\begin{cases} 0, & X\le 100,\\[4pt] X-100, & 100<X<5100,\\[4pt] 5000, & X\ge 5100. \end{cases}]

Passo 3

Calcular as probabilidades de massa nas situações com ponto de massa (átomos): Y tem massa em 0 e em 5000.
  • Para Y=0:
\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X\le 100)=\int_{0}^{100}(1+x)^{-2}\,dx.
Calculamos a integral:
\int_{0}^{100}(1+x)^{-2}\,dx=\Big[-(1+x)^{-1}\Big]_{0}^{100}=-\frac{1}{101}+\frac{1}{1}=\frac{100}{101}.
Logo
\mathbb{P}(Y=0)=\frac{100}{101}.
  • Para Y=5000:
\mathbb{P}(Y=5000)=\mathbb{P}(X\ge 5100)=\int_{5100}^{\infty}(1+x)^{-2}\,dx.
A integral é a cauda:
\int_{5100}^{\infty}(1+x)^{-2}\,dx=\Big[(1+x)^{-1}\Big]_{5100}^{\infty}=\frac{1}{5101}.
Logo
\mathbb{P}(Y=5000)=\frac{1}{5101}.

Passo 4

Para 0<y<5000 (caso contínuo), há uma bijeção entre y e x dada por x=y+100. Usamos a transformação de variáveis contínua:
f_{Y}(y)=f_{X}(y+100)\cdot\left|\frac{d}{dy}(y+100)\right|=f_{X}(y+100)\quad\text{para }0<y<5000.
Substituindo f_X:
f_{Y}(y)=(1+(y+100))^{-2}=(101+y)^{-2},\qquad 0<y<5000.
Portanto Y é uma mistura com:
  • átomo em 0 de massa \dfrac{100}{101},
  • densidade contínua f_{Y}(y)=(101+y)^{-2} em 0<y<5000,
  • átomo em 5000 de massa \dfrac{1}{5101}.

Passo 5

Verificamos que as probabilidades somam 1. A massa total da parte contínua é
\int_{0}^{5000}(101+y)^{-2}\,dy=\Big[-(101+y)^{-1}\Big]_{0}^{5000}=\frac{1}{101}-\frac{1}{5101}.
Somando as massas:
\frac{100}{101}+\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{5101}\right)+\frac{1}{5101}=1,
portanto está consistente.

Passo 6

Agora calculamos \mathbb{E}(Y). Como Y tem uma parte contínua e dois átoms, escrevemos:
\mathbb{E}(Y)=\int_{0}^{5000} y\,f_{Y}(y)\,dy + 0\cdot\mathbb{P}(Y=0) + 5000\cdot\mathbb{P}(Y=5000).
Substituindo f_{Y}(y)=(101+y)^{-2}:
\int_{0}^{5000}\frac{y}{(101+y)^{2}}\,dy.
Fazemos a substituição u=101+y\Rightarrow y=u-101, com u indo de 101 a 5101. Então
\int_{0}^{5000}\frac{y}{(101+y)^{2}}\,dy=\int_{101}^{5101}\frac{u-101}{u^{2}}\,du =\int_{101}^{5101}\left(\frac{1}{u}-\frac{101}{u^{2}}\right)du.
Integramos termo a termo:
\int_{101}^{5101}\left(\frac{1}{u}-\frac{101}{u^{2}}\right)du =\Big[\ln u + \frac{101}{u}\Big]_{101}^{5101} =\ln\!\left(\frac{5101}{101}\right)+\frac{101}{5101}-1.
Agora somamos a contribuição do átomo em 5000:
5000\cdot\mathbb{P}(Y=5000)=5000\cdot\frac{1}{5101}=\frac{5000}{5101}.
Somando ambos:
\mathbb{E}(Y)=\left(\ln\!\left(\frac{5101}{101}\right)+\frac{101}{5101}-1\right)+\frac{5000}{5101}.
Observe que \dfrac{101}{5101}-1+\dfrac{5000}{5101}=0 porque -1+\dfrac{101+5000}{5101}=-1+\dfrac{5101}{5101}=0. Assim sobra uma expressão simples:
\mathbb{E}(Y)=\ln\!\left(\frac{5101}{101}\right).

Resposta

\mathbb{P}(Y=0)=\dfrac{100}{101}
f_{Y}(y)=(101+y)^{-2},\quad 0<y<5000
\mathbb{P}(Y=5000)=\dfrac{1}{5101}
\mathbb{E}(Y)=\ln\!\left(\dfrac{5101}{101}\right)

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