Seja uma v.a
com função de probabilidade dada na tabela a seguir
1
2
3
4
5
a) Encontre o valor de
para que
seja, de fato, uma função de probabilidade.
b) Calcule a
e
;
c) Calcule
e
.
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
|
b) Calcule a
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma v.a.
com suporte
. A tabela diz:
As perguntas são:
a) Encontrar o valor de para que isso seja uma função de probabilidade (ou seja, as probabilidades somem
e cada valor esteja em
).
b) Calcular e
.
c) Calcular e
.
a) Encontrar o valor de
b) Calcular
c) Calcular
As informações relevantes dadas são exatamente as probabilidades pontuais acima (três entradas com
nos pontos
e duas entradas com
nos pontos
).
Passo 2
Condição básica para uma função de probabilidade discreta: a soma das probabilidades de todos os pontos do suporte deve ser
. Então escrevemos a equação de normalização.
As probabilidades somam:
pois há três ocorrências de
(para
) e duas de
(para
).
Isso é uma equação quadrática. Vou resolver passo a passo. Reescrevendo:
Usamos a fórmula quadrática
com
,
,
. Primeiro o discriminante:
Logo
. As raízes são
Isso dá duas soluções:
e
.
Como
é uma probabilidade (deve estar em
), rejeitamos
. Portanto:
Passo 3
Agora que já sabemos
, vou calcular as probabilidades pedidas em (b). Regra: a probabilidade de um evento discreto é a soma das probabilidades dos pontos que compõem o evento.
Para
temos os pontos
e
. Então
Substituindo
:
Para
temos os pontos
e
. Então
Substituindo:
Passo 4
Agora (c): calcular
. Definição (para variável discreta): a esperança matemática é a soma dos valores ponderados pelas probabilidades:
Aqui isso vale
Agrupando os termos em
e
:
Substituindo
e
:
Se quiser um valor decimal,
.
Passo 5
Para a variância precisamos primeiro de
. Definição:
Calculando:
Agrupando:
Substituindo
e
:
Passo 6
A variância tem a fórmula
Já temos
e
. Então
Calculo das frações:
e
. Subtraindo:
Decimal aproximado:
.
Passo 7
Pequeno cheque de sanidade: com
as probabilidades pontuais são
(três vezes) e
(duas vezes); soma
. Tudo consistente.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)