Seja uma v.a X com função de probabilidade dada na tabela a seguir
x 1 2 3 4 5
p(x)=p(X=x) p^{2} p^{2} p p p^{2}
a) Encontre o valor de p para que p(x) seja, de fato, uma função de probabilidade.
b) Calcule a P(X \geq 4) e P(X<3);
c) Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma v.a. X com suporte \{1,2,3,4,5\}. A tabela diz:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p_X(x)=P(X=x) & p^{2} & p^{2} & p & p & p^{2} \end{array}
As perguntas são:
a) Encontrar o valor de p para que isso seja uma função de probabilidade (ou seja, as probabilidades somem 1 e cada valor esteja em [0,1]).
b) Calcular P(X\ge 4) e P(X<3).
c) Calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).
As informações relevantes dadas são exatamente as probabilidades pontuais acima (três entradas com p^{2} nos pontos 1,2,5 e duas entradas com p nos pontos 3,4).

Passo 2

Condição básica para uma função de probabilidade discreta: a soma das probabilidades de todos os pontos do suporte deve ser 1. Então escrevemos a equação de normalização.
As probabilidades somam:
3p^{2}+2p=1,
pois há três ocorrências de p^{2} (para x=1,2,5) e duas de p (para x=3,4).
Isso é uma equação quadrática. Vou resolver passo a passo. Reescrevendo:
3p^{2}+2p-1=0.
Usamos a fórmula quadrática \displaystyle p=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=3, b=2, c=-1. Primeiro o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.
Logo \sqrt{\Delta}=4. As raízes são
p=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 4}{6}.
Isso dá duas soluções: p=\dfrac{-2+4}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} e p=\dfrac{-2-4}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1.
Como p é uma probabilidade (deve estar em [0,1]), rejeitamos p=-1. Portanto:
p=\frac{1}{3}.

Passo 3

Agora que já sabemos p=\dfrac{1}{3}, vou calcular as probabilidades pedidas em (b). Regra: a probabilidade de um evento discreto é a soma das probabilidades dos pontos que compõem o evento.
Para P(X\ge 4) temos os pontos x=4 e x=5. Então
P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)=p+p^{2}.
Substituindo p=\dfrac{1}{3}:
P(X\ge 4)=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}.
Para P(X<3) temos os pontos x=1 e x=2. Então
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=p^{2}+p^{2}=2p^{2}.
Substituindo:
P(X<3)=2\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=2\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 4

Agora (c): calcular E(X). Definição (para variável discreta): a esperança matemática é a soma dos valores ponderados pelas probabilidades:
E(X)=\sum_{x} x\,P(X=x).
Aqui isso vale
E(X)=1\cdot p^{2}+2\cdot p^{2}+3\cdot p+4\cdot p+5\cdot p^{2}.
Agrupando os termos em p^{2} e p:
E(X)=(1+2+5)p^{2}+(3+4)p = 8p^{2}+7p.
Substituindo p=\dfrac{1}{3} e p^{2}=\dfrac{1}{9}:
E(X)=8\cdot\frac{1}{9}+7\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{9}+\frac{7}{3}=\frac{8}{9}+\frac{21}{9}=\frac{29}{9}.
Se quiser um valor decimal, \dfrac{29}{9}\approx 3{,}222.

Passo 5

Para a variância precisamos primeiro de E(X^{2}). Definição:
E(X^{2})=\sum_{x} x^{2}P(X=x).
Calculando:
E(X^{2})=1^{2}p^{2}+2^{2}p^{2}+3^{2}p+4^{2}p+5^{2}p^{2}.
Agrupando:
E(X^{2})=(1+4+25)p^{2}+(9+16)p = 30p^{2}+25p.
Substituindo p=\dfrac{1}{3} e p^{2}=\dfrac{1}{9}:
E(X^{2})=30\cdot\frac{1}{9}+25\cdot\frac{1}{3}=\frac{30}{9}+\frac{25}{3}=\frac{10}{3}+\frac{25}{3}=\frac{35}{3}.

Passo 6

A variância tem a fórmula
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Já temos E(X^{2})=\dfrac{35}{3} e E(X)=\dfrac{29}{9}. Então
\operatorname{Var}(X)=\frac{35}{3}-\left(\frac{29}{9}\right)^{2}.
Calculo das frações: \left(\dfrac{29}{9}\right)^{2}=\dfrac{841}{81} e \dfrac{35}{3}=\dfrac{945}{81}. Subtraindo:
\operatorname{Var}(X)=\frac{945}{81}-\frac{841}{81}=\frac{104}{81}.
Decimal aproximado: \dfrac{104}{81}\approx 1{,}28395.

Passo 7

Pequeno cheque de sanidade: com p=\dfrac{1}{3} as probabilidades pontuais são p^{2}=\dfrac{1}{9} (três vezes) e p=\dfrac{1}{3} (duas vezes); soma 3\cdot\frac{1}{9}+2\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1. Tudo consistente.

Resposta

a) p=\dfrac{1}{3}
b) P(X\ge 4)=\dfrac{4}{9},\; P(X<3)=\dfrac{2}{9}
c) E(X)=\dfrac{29}{9},\; \operatorname{Var}(X)=\dfrac{104}{81}

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