Uma variável aleatória tem distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula:
p(x)=p(X=x)=\frac{k}{x} \quad \text { para } \quad x=1,3,5,7
a) Determinar k.
b) Calcular P(2 \leq X \leq 6).
c) Quanto vale F(5) ?

Passo 1

O enunciado dá a função massa de probabilidade
p(x)=p(X=x)=\frac{k}{x}\quad\text{para}\quad x=1,3,5,7
e pede três coisas:
  1. Determinar k.
  2. Calcular P(2\le X\le 6).
  3. Calcular F(5), a função de distribuição acumulada em 5.
Informações relevantes que já temos: os únicos valores possíveis de X são 1,3,5,7 e para cada um a probabilidade é \dfrac{k}{x}. A condição que sempre vale para uma distribuição discreta é que as probabilidades somem 1.

Passo 2

Para achar k usamos a condição de normalização: a soma das probabilidades de todos os valores possíveis é 1. Escrevendo isso:
\sum_{x\in\{1,3,5,7\}} p(x)=1
Substituindo p(x)=\dfrac{k}{x} obtemos
\frac{k}{1}+\frac{k}{3}+\frac{k}{5}+\frac{k}{7}=1
Factorizando k:
k\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)=1

Passo 3

Agora calculamos a soma dentro do parêntese. Para somar frações uso denominador comum 105:
1=\frac{105}{105},\quad \frac{1}{3}=\frac{35}{105},\quad \frac{1}{5}=\frac{21}{105},\quad \frac{1}{7}=\frac{15}{105}
Somando:
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{105+35+21+15}{105}=\frac{176}{105}
Substituindo na equação de normalização:
k\cdot\frac{176}{105}=1
Logo
k=\frac{1}{176/105}=\frac{105}{176}

Passo 4

Para calcular P(2\le X\le 6) lembro que, por ser variável discreta com suporte \{1,3,5,7\}, os valores de X que satisfazem 2\le X\le 6 são exatamente 3 e 5. Então
P(2\le X\le 6)=P(X=3)+P(X=5)=\frac{k}{3}+\frac{k}{5}=k\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)
Calculo a soma das frações:
\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5+3}{15}=\frac{8}{15}
Portanto
P(2\le X\le 6)=k\cdot\frac{8}{15}
Substituindo k=\dfrac{105}{176}:
P(2\le X\le 6)=\frac{105}{176}\cdot\frac{8}{15}
Simplificando: \dfrac{105}{15}=7, então fica \dfrac{7\cdot 8}{176}=\dfrac{56}{176}. Dividindo numerador e denominador por 8 resulta
P(2\le X\le 6)=\frac{7}{22}

Passo 5

A função de distribuição acumulada F(5) é F(5)=P(X\le 5). Como o suporte é \{1,3,5,7\}, os valores \le 5 são 1,3,5. Logo
F(5)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=\frac{k}{1}+\frac{k}{3}+\frac{k}{5}=k\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)
Calculamos a soma:
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15+5+3}{15}=\frac{23}{15}
Portanto
F(5)=k\cdot\frac{23}{15}
Substituindo k=\dfrac{105}{176}:
F(5)=\frac{105}{176}\cdot\frac{23}{15}=\frac{105\cdot 23}{176\cdot 15}=\frac{2415}{2640}
Dividindo numerador e denominador por 15 obtemos
F(5)=\frac{161}{176}
(Como verificação rápida: F(5)=1-P(X=7)=1-\dfrac{k}{7}=1-\dfrac{105}{176}\cdot\frac{1}{7}=1-\dfrac{15}{176}=\dfrac{161}{176}, bate com o resultado.)

Resposta

(a) k=\dfrac{105}{176}
(b) P(2\le X\le 6)=\dfrac{7}{22}
(c) F(5)=\dfrac{161}{176}

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