Uma variável aleatória tem distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula:
a) Determinar
.
b) Calcular
.
c) Quanto vale
?
b) Calcular
c) Quanto vale
Passo 1
O enunciado dá a função massa de probabilidade
e pede três coisas:
- Determinar
. - Calcular
. - Calcular
, a função de distribuição acumulada em .
Informações relevantes que já temos: os únicos valores possíveis de
são
e para cada um a probabilidade é
. A condição que sempre vale para uma distribuição discreta é que as probabilidades somem
.
Passo 2
Para achar
usamos a condição de normalização: a soma das probabilidades de todos os valores possíveis é
. Escrevendo isso:
Substituindo
obtemos
Factorizando
:
Passo 3
Agora calculamos a soma dentro do parêntese. Para somar frações uso denominador comum
:
Somando:
Substituindo na equação de normalização:
Logo
Passo 4
Para calcular
lembro que, por ser variável discreta com suporte
, os valores de
que satisfazem
são exatamente
e
. Então
Calculo a soma das frações:
Portanto
Substituindo
:
Simplificando:
, então fica
. Dividindo numerador e denominador por
resulta
Passo 5
A função de distribuição acumulada
é
. Como o suporte é
, os valores
são
. Logo
Calculamos a soma:
Portanto
Substituindo
:
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
(Como verificação rápida:
, bate com o resultado.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)