Um urna contém 10 bolas, duas delas são coloridas.
a) Qual a probabilidade de numa amostra de tamanho 2 , se obter ao menos uma bola colorida?
b) Uma pessoa retira uma amostra de tamanho 2 , uma segunda pessoa retira dessa mesma urna uma amostra de tamanho 2 , qual a probabilidade dessa segunda pessoa obter ao menos uma bola colorida?
a) Qual a probabilidade de numa amostra de tamanho 2 , se obter ao menos uma bola colorida?
b) Uma pessoa retira uma amostra de tamanho 2 , uma segunda pessoa retira dessa mesma urna uma amostra de tamanho 2 , qual a probabilidade dessa segunda pessoa obter ao menos uma bola colorida?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades correspondentes.
- Informações dadas:
- A urna tem
bolas no total. - Dessas,
são coloridas e não coloridas. - Cada amostra tem tamanho
(dois bolas retiradas).
- A urna tem
- Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de que, numa amostra de tamanho
, se obtenha pelo menos uma bola colorida? - (b) Uma pessoa retira uma amostra de tamanho
; em seguida, uma segunda pessoa retira dessa mesma urna outra amostra de tamanho . Qual a probabilidade de que a segunda pessoa obtenha pelo menos uma bola colorida?
- (a) Qual a probabilidade de que, numa amostra de tamanho
Passo 2
Vamos resolver (a). Um jeito prático é usar a regra do complemento: em vez de calcular diretamente a probabilidade de “pelo menos uma colorida”, calculamos a probabilidade complementar “nenhuma colorida” (ou seja, as duas são não coloridas) e subtraímos de 1.
- Número total de maneiras de escolher
bolas entre é
- Número de maneiras de escolher
bolas não coloridas entre as não coloridas é
A probabilidade de não sair nenhuma colorida é então
Passo 3
Calculemos os binomiais e a fração:
Logo
Usando o complemento,
Um atalho que sempre funciona e é equivalente: calcular diretamente a probabilidade de as duas serem não coloridas sem usar combinações,
o que leva ao mesmo resultado para o complemento.
Passo 4
Agora (b). Interpreto que a primeira pessoa retira
bolas e não as devolve; depois a segunda pessoa retira
das bolas restantes. Queremos a probabilidade (incondicional) de que a segunda pessoa obtenha pelo menos uma colorida. Vou usar a Lei da Probabilidade Total, condicionando no número de bolas coloridas removidas pela primeira pessoa.
Seja
o número de bolas coloridas retiradas pela primeira pessoa;
pode ser
. Então
Passo 5
Calculemos
(probabilidade da primeira pessoa retirar exatamente
bolas coloridas).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Confirme que
.)
Passo 6
Agora calculamos as probabilidades condicionais
, ou seja, dada a situação após a primeira retirada, qual a chance da segunda pessoa conseguir pelo menos uma colorida ao retirar
das
bolas restantes.
- Se
: sobraram coloridas e não coloridas entre as bolas. A probabilidade de a segunda pessoa tirar nenhuma colorida é . Logo
- Se
: sobrou colorida e não coloridas entre as . A probabilidade de nenhuma colorida é . Logo
- Se
: não sobra nenhuma colorida, então
Passo 7
Agora juntamos tudo usando a soma ponderada:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 8
Interpretação e dica prática para prova: o resultado mostra que a probabilidade da segunda pessoa obter pelo menos uma bola colorida é exatamente a mesma da parte (a). Intuitivamente isso acontece por simetria: todas as amostras de tamanho
retiradas em qualquer ordem são igualmente prováveis — a segunda pessoa também recebe uma amostra aleatória de tamanho
do conjunto original, depois de uma remoção aleatória pela primeira pessoa. Na prova, usar o complemento e/ou trabalhar com combinações (hipergeométrica) ou multiplicar probabilidades sem reposição (ex.:
para nenhum colorido) são formas rápidas e confiáveis.
Resposta
a)
b)
b)