Um urna contém 10 bolas, duas delas são coloridas.
a) Qual a probabilidade de numa amostra de tamanho 2 , se obter ao menos uma bola colorida?
b) Uma pessoa retira uma amostra de tamanho 2 , uma segunda pessoa retira dessa mesma urna uma amostra de tamanho 2 , qual a probabilidade dessa segunda pessoa obter ao menos uma bola colorida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades correspondentes.
  • Informações dadas:
    • A urna tem \;10\; bolas no total.
    • Dessas, \;2\; são coloridas e \;8\; não coloridas.
    • Cada amostra tem tamanho \;2\; (dois bolas retiradas).
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade de que, numa amostra de tamanho \;2\;, se obtenha pelo menos uma bola colorida?
    • (b) Uma pessoa retira uma amostra de tamanho \;2\;; em seguida, uma segunda pessoa retira dessa mesma urna outra amostra de tamanho \;2\;. Qual a probabilidade de que a segunda pessoa obtenha pelo menos uma bola colorida?

Passo 2

Vamos resolver (a). Um jeito prático é usar a regra do complemento: em vez de calcular diretamente a probabilidade de “pelo menos uma colorida”, calculamos a probabilidade complementar “nenhuma colorida” (ou seja, as duas são não coloridas) e subtraímos de 1.
  • Número total de maneiras de escolher \;2\; bolas entre \;10\; é
\binom{10}{2}.
  • Número de maneiras de escolher \;2\; bolas não coloridas entre as \;8\; não coloridas é
\binom{8}{2}.
A probabilidade de não sair nenhuma colorida é então
P(\text{nenhuma colorida})=\frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}}.

Passo 3

Calculemos os binomiais e a fração:
  • \displaystyle \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
  • \displaystyle \binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2\cdot1}=28.
Logo
P(\text{nenhuma colorida})=\frac{28}{45}.
Usando o complemento,
P(\text{pelo menos uma colorida})=1-\frac{28}{45}=\frac{17}{45}.
Um atalho que sempre funciona e é equivalente: calcular diretamente a probabilidade de as duas serem não coloridas sem usar combinações,
P(\text{nenhuma colorida})=\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{56}{90}=\frac{28}{45},
o que leva ao mesmo resultado para o complemento.

Passo 4

Agora (b). Interpreto que a primeira pessoa retira \;2\; bolas e não as devolve; depois a segunda pessoa retira \;2\; das bolas restantes. Queremos a probabilidade (incondicional) de que a segunda pessoa obtenha pelo menos uma colorida. Vou usar a Lei da Probabilidade Total, condicionando no número de bolas coloridas removidas pela primeira pessoa.
Seja K o número de bolas coloridas retiradas pela primeira pessoa; K pode ser \;0,1,2\;. Então
P(\text{segunda tem ≥1 colorida})=\sum_{k=0}^{2} P(K=k)\,P(\text{segunda ≥1}\mid K=k).

Passo 5

Calculemos P(K=k) (probabilidade da primeira pessoa retirar exatamente k bolas coloridas).
  • Para k=0:
P(K=0)=\frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{28}{45}.
  • Para k=1:
P(K=1)=\frac{\binom{2}{1}\binom{8}{1}}{\binom{10}{2}}=\frac{2\cdot8}{45}=\frac{16}{45}.
  • Para k=2:
P(K=2)=\frac{\binom{2}{2}\binom{8}{0}}{\binom{10}{2}}=\frac{1}{45}.
(Confirme que \frac{28}{45}+\frac{16}{45}+\frac{1}{45}=1.)

Passo 6

Agora calculamos as probabilidades condicionais P(\text{segunda ≥1}\mid K=k), ou seja, dada a situação após a primeira retirada, qual a chance da segunda pessoa conseguir pelo menos uma colorida ao retirar \;2\; das \;8\; bolas restantes.
  • Se k=0: sobraram 2 coloridas e 6 não coloridas entre as \;8\; bolas. A probabilidade de a segunda pessoa tirar nenhuma colorida é \displaystyle \frac{\binom{6}{2}}{\binom{8}{2}}. Logo
P(\text{segunda ≥1}\mid K=0)=1-\frac{\binom{6}{2}}{\binom{8}{2}}=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}.
  • Se k=1: sobrou 1 colorida e 7 não coloridas entre as \;8\;. A probabilidade de nenhuma colorida é \displaystyle \frac{\binom{7}{2}}{\binom{8}{2}}. Logo
P(\text{segunda ≥1}\mid K=1)=1-\frac{\binom{7}{2}}{\binom{8}{2}}=1-\frac{21}{28}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}.
  • Se k=2: não sobra nenhuma colorida, então
P(\text{segunda ≥1}\mid K=2)=0.

Passo 7

Agora juntamos tudo usando a soma ponderada:
\begin{aligned} P(\text{segunda ≥1}) &=P(K=0)\cdot\frac{13}{28}+P(K=1)\cdot\frac{7}{28}+P(K=2)\cdot 0\\[4pt] &=\frac{28}{45}\cdot\frac{13}{28}+\frac{16}{45}\cdot\frac{7}{28}+0\\[4pt] &=\frac{13}{45}+\frac{16\cdot7}{45\cdot28}. \end{aligned}
Simplificando o segundo termo:
\frac{16\cdot7}{45\cdot28}=\frac{112}{1260}=\frac{4}{45}.
Portanto
P(\text{segunda ≥1})=\frac{13}{45}+\frac{4}{45}=\frac{17}{45}.]

Passo 8

Interpretação e dica prática para prova: o resultado mostra que a probabilidade da segunda pessoa obter pelo menos uma bola colorida é exatamente a mesma da parte (a). Intuitivamente isso acontece por simetria: todas as amostras de tamanho \;2\; retiradas em qualquer ordem são igualmente prováveis — a segunda pessoa também recebe uma amostra aleatória de tamanho \;2\; do conjunto original, depois de uma remoção aleatória pela primeira pessoa. Na prova, usar o complemento e/ou trabalhar com combinações (hipergeométrica) ou multiplicar probabilidades sem reposição (ex.: \frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9} para nenhum colorido) são formas rápidas e confiáveis.

Resposta

a) \displaystyle \frac{17}{45}
b) \displaystyle \frac{17}{45}

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