Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agricultura, indústria e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora (em milhares de reais):
L=2 L_{A}+5 L_{I}+3 L_{C}
\operatorname{com} L_{A}, L_{I}, L_{C}, reprensentando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indústria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis aleatórias são L_{A} \sim N(3,4), L_{I} \sim N(6,9) e L_{C} \sim N(4,16). Supondo independência entre os 3 setores, qual será a probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil?

Passo 1

O enunciado dá o lucro diário total
L = 2L_{A} + 5L_{I} + 3L_{C}
em milhares de reais, com \;L_{A}\sim N(3,4), \;L_{I}\sim N(6,9)
e \;L_{C}\sim N(4,16),
assumindo independência entre os setores. Queremos a probabilidade de L>50.

Passo 2

Para achar a média de L, usamos a linearidade da esperança:
E[L] = 2E[L_{A}] + 5E[L_{I}] + 3E[L_{C}]
Substituindo E[L_{A}]=3, E[L_{I}]=6 e E[L_{C}]=4,
E[L] = 2\cdot3 + 5\cdot6 + 3\cdot4 = 6 + 30 + 12 = 48.

Passo 3

Para a variância de L, como os L_{i} são independentes, vale
\mathrm{Var}(L) = 2^{2}\mathrm{Var}(L_{A}) + 5^{2}\mathrm{Var}(L_{I}) + 3^{2}\mathrm{Var}(L_{C}).
Substituindo \mathrm{Var}(L_{A})=4, \mathrm{Var}(L_{I})=9, \mathrm{Var}(L_{C})=16,
\mathrm{Var}(L) = 4\cdot4 + 25\cdot9 + 9\cdot16 = 16 + 225 + 144 = 385.

Passo 4

Portanto L é normal com média 48 e variância 385, isto é,
L \sim N(48,\,385).

Passo 5

Queremos
P(L>50) = 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{50 - 48}{\sqrt{385}}\Bigr).
Calculando o z-score,
z = \frac{50 - 48}{\sqrt{385}} \approx \frac{2}{19{,}62} \approx 0{,}102.

Passo 6

Assim
P(L>50) = 1 - \Phi(0{,}102) \approx 1 - 0{,}5406 = 0{,}4594.

Resposta

0{,}4594

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