Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de tamanho
, proveniente de uma população denotada por
, e
e
. Faça
serem dois estimadores de
. Qual é o melhor estimador de
. Explique sua escolha.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho
de uma população
com
e
. Define dois estimadores de
:
O objetivo é decidir qual dos dois estimadores é “melhor”, isto é, qual tem menor erro quadrático médio (MSE).
Passo 2
Primeiro, verificamos o viés de cada estimador. Um estimador é não-viesado se sua esperança vale o parâmetro. Para
temos
Analogamente, para
:
Logo, ambos são não-viesados.
Passo 3
Como ambos são não-viesados, o MSE de cada um é sua variância. Usando independência e
:
Passo 4
Comparando
com
, vemos que
Como MSE = variância aqui,
tem menor erro quadrático médio, portanto é o melhor estimador de
.