Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de tamanho 2 n, proveniente de uma população denotada por X, e E(X)=\mu e V(X)=\sigma^{2}. Faça
\bar{X}_{1}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_{i} \quad \text { e } \quad \bar{X}_{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} .
serem dois estimadores de \mu. Qual é o melhor estimador de \mu. Explique sua escolha.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho 2n de uma população X com E(X)=\mu e \,V(X)=\sigma^2. Define dois estimadores de \mu:
\bar X_{1} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_i \quad\text{e}\quad \bar X_{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
O objetivo é decidir qual dos dois estimadores é “melhor”, isto é, qual tem menor erro quadrático médio (MSE).

Passo 2

Primeiro, verificamos o viés de cada estimador. Um estimador é não-viesado se sua esperança vale o parâmetro. Para \bar X_{1} temos
E(\bar X_{1}) =E\Bigl(\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_i\Bigr) =\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}E(X_i) =\frac{2n\mu}{2n} =\mu.
Analogamente, para \bar X_{2}:
E(\bar X_{2}) =E\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\Bigr) =\frac{n\mu}{n} =\mu.
Logo, ambos são não-viesados.

Passo 3

Como ambos são não-viesados, o MSE de cada um é sua variância. Usando independência e V(aX)=a^2V(X):
V(\bar X_{1}) =V\Bigl(\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_i\Bigr) =\frac{1}{(2n)^2}\sum_{i=1}^{2n}V(X_i) =\frac{2n\,\sigma^2}{4n^2} =\frac{\sigma^2}{2n},
V(\bar X_{2}) =V\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\Bigr) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i) =\frac{n\,\sigma^2}{n^2} =\frac{\sigma^2}{n}.

Passo 4

Comparando V(\bar X_{1})=\sigma^2/(2n) com V(\bar X_{2})=\sigma^2/n, vemos que
\frac{\sigma^2}{2n} < \frac{\sigma^2}{n}.
Como MSE = variância aqui, \bar X_{1} tem menor erro quadrático médio, portanto é o melhor estimador de \mu.

Resposta

\bar X_{1} é o melhor estimador, pois é não-viesado e possui variância \sigma^2/(2n), menor do que a variância \sigma^2/n de \bar X_{2}.

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