(Sheldon Ross) A taxa de uma determinada doença em certo estado é de 1 caso a cada 100.000 habitantes por mês.
(a) Determine a probabilidade de que, em uma cidade de 400.000 habitantes localizada no interior deste estado, ocorram 8 casos ou mais em um dado mês.
Solução 1-\sum_{i=0}^{7} e^{-4} 4^{i} / i!=p
(b) Qual é a probabilidade de que em pelo menos 2 meses durante o ano ocorram 8 casos ou mais?
Solução 1-(1-p)^{12}-12 p(1-p)^{11}
(c) Contando o mês atual como se fosse o mês número 1, qual é a probabilidade de que o primeiro mês tendo 8 casos ou mais seja o mês de número i, i \geq 1 ? Que hipóteses você está pressupondo?
Solução (1-p)^{i-1} p

Passo 1

O enunciado diz que a taxa da doença é de 1 caso por 100000 habitantes ao mês e queremos estudar uma cidade de 400000 habitantes. Como 400000/ 100000=4, o número de casos em um mês segue aproximadamente uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=4. Vamos usar (a) Poisson para P(X >=8), (b) Binomial para o número de meses em que esse evento ocorre em 12 meses, e (c) Geométrica para o mês do primeiro “sucesso”. Pressupomos meses independentes e taxa constante.

Passo 2

Seja X\sim\mathrm{Poisson}(4). A probabilidade de ocorrências iguais ou superiores a 8 em um mês é
p=\Pr(X\ge8) =1-\sum_{i=0}^{7}\frac{e^{-4}4^{i}}{i!}.

Passo 3

Seja Y o número de meses em que X\ge8 num ano de 12 meses. Então Y\sim\mathrm{Binomial}(n=12,p). Queremos \Pr(Y\ge2). Calculamos
\Pr(Y\ge2) =1-\Pr(Y=0)-\Pr(Y=1) =1-(1-p)^{12}-12\,p\,(1-p)^{11}.

Passo 4

Seja T o índice do primeiro mês em que ocorrem 8 casos ou mais. Sob independência mensal e probabilidade constante p, T tem distribuição geométrica (definição “contagem de ensaios até o primeiro sucesso”). Logo,
\Pr(T=i)=(1-p)^{\,i-1}p,\quad i\ge1.
As hipóteses são: (i) ocorrências em meses distintos são independentes, (ii) a taxa p é a mesma para todo mês.

Resposta

(a) \;1-\displaystyle\sum_{i=0}^{7}\frac{e^{-4}4^{i}}{i!}.
(b) \;1-(1-p)^{12}-12\,p\,(1-p)^{11}.
(c) \;(1-p)^{\,i-1}p,\;i\ge1, pressupondo independência mensal e probabilidade constante.

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