(Sheldon Ross) A taxa de uma determinada doença em certo estado é de 1 caso a cada 100.000 habitantes por mês.
(a) Determine a probabilidade de que, em uma cidade de 400.000 habitantes localizada no interior deste estado, ocorram 8 casos ou mais em um dado mês.
Solução
(b) Qual é a probabilidade de que em pelo menos 2 meses durante o ano ocorram 8 casos ou mais?
Solução
(c) Contando o mês atual como se fosse o mês número 1, qual é a probabilidade de que o primeiro mês tendo 8 casos ou mais seja o mês de número
? Que hipóteses você está pressupondo?
Solução
(a) Determine a probabilidade de que, em uma cidade de 400.000 habitantes localizada no interior deste estado, ocorram 8 casos ou mais em um dado mês.
Solução
(b) Qual é a probabilidade de que em pelo menos 2 meses durante o ano ocorram 8 casos ou mais?
Solução
(c) Contando o mês atual como se fosse o mês número 1, qual é a probabilidade de que o primeiro mês tendo 8 casos ou mais seja o mês de número
Solução
Passo 1
O enunciado diz que a taxa da doença é de 1 caso por
habitantes ao mês e queremos estudar uma cidade de
habitantes. Como
/
, o número de casos em um mês segue aproximadamente uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Vamos usar (a) Poisson para P(X
), (b) Binomial para o número de meses em que esse evento ocorre em 12 meses, e (c) Geométrica para o mês do primeiro “sucesso”. Pressupomos meses independentes e taxa constante.
Passo 2
Seja
. A probabilidade de ocorrências iguais ou superiores a 8 em um mês é
Passo 3
Seja
o número de meses em que
num ano de 12 meses. Então
. Queremos
. Calculamos
Passo 4
Seja
o índice do primeiro mês em que ocorrem 8 casos ou mais. Sob independência mensal e probabilidade constante
,
tem distribuição geométrica (definição “contagem de ensaios até o primeiro sucesso”). Logo,
As hipóteses são: (i) ocorrências em meses distintos são independentes, (ii) a taxa
é a mesma para todo mês.
Resposta
(a)
(b)
(c) pressupondo independência mensal e probabilidade constante.
(b)
(c)