- Corta-se um arame de 10 m de comprimento em duas partes, sendo uma delas de
metros de comprimento. Com cada parte forma-se um quadrado.
(a) Encontre uma função que modele a área total cercada pelos dois quadrados.
(b) Encontre o valor de
que reduza, ao mínimo, a área total dos dois quadrados.
(a) Encontre uma função que modele a área total cercada pelos dois quadrados.
(b) Encontre o valor de
Passo 1
O enunciado diz que temos um arame de comprimento total
m, cortado em duas partes de comprimentos
e
. Cada parte forma um quadrado. Vamos usar a relação entre perímetro e lado do quadrado e depois somar as áreas. Em seguida, aplicaremos derivada para encontrar o mínimo da função área total.
Passo 2
Se uma parte mede
, o lado do quadrado correspondente é
, pois o perímetro do quadrado é
vezes o lado. Analogamente, o outro quadrado tem lado
. Assim a área total é
Passo 3
Simplificando a expressão:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, derivamos
e igualamos a zero:
Daí
implica
Como a segunda derivada
, este ponto é mínimo.
Resposta
(a)
(b)