1. Corta-se um arame de 10 m de comprimento em duas partes, sendo uma delas de x metros de comprimento. Com cada parte forma-se um quadrado.
    (a) Encontre uma função que modele a área total cercada pelos dois quadrados.
    (b) Encontre o valor de x que reduza, ao mínimo, a área total dos dois quadrados.

Passo 1

O enunciado diz que temos um arame de comprimento total 10 m, cortado em duas partes de comprimentos x e 10 - x. Cada parte forma um quadrado. Vamos usar a relação entre perímetro e lado do quadrado e depois somar as áreas. Em seguida, aplicaremos derivada para encontrar o mínimo da função área total.

Passo 2

Se uma parte mede x, o lado do quadrado correspondente é x/4, pois o perímetro do quadrado é 4 vezes o lado. Analogamente, o outro quadrado tem lado (10 - x)/4. Assim a área total é
A(x) = l(x4r)^2 + l(10 - x4r)^2

Passo 3

Simplificando a expressão:
A(x) = x^2 + (10 - x)^216 = x^2 + (100 - 20x + x^2)16 = 2x^2 - 20x + 10016

Passo 4

Para encontrar o mínimo, derivamos A(x) e igualamos a zero:
A'(x) = ddxl(2x^2 - 20x + 10016r) = 4x - 2016 = x - 54
Daí A'(x)=0 implica
x - 5 = 0 Longrightarrow x = 5
Como a segunda derivada A''(x)=tfrac14>0, este ponto é mínimo.

Resposta

(a) A(x)=x^2 + (10 - x)^216
(b) x = 5 m

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