Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, t)=raizx ln t

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,t)=raizx,ln t
Temos duas variáveis independentes, x e t. Para resolver, vamos usar a regra da potência ddxx^alpha=alpha x^alpha-1 e a derivada de ln t, que é 1t, tratando sempre a outra variável como constante.

Passo 2

Derivadas em relação a x (denotadas por fx e fxx):
Trate ln t como constante. Então
fx ;=;partialpartial xl(x^1/2ln tr) =ln t;partialpartial xx^1/2 =ln t;12x^-1/2 =ln t2raizx
Agora, derivada segunda em x:
fxx =partialpartial x!l(ln t2x^-1/2r) =ln t2;(-tfrac12)x^-3/2 =-ln t4,x^3/2

Passo 3

Derivadas em relação a t (denotadas por fy e fyy, sendo yequiv t):
Aqui raizx é constante, logo
fy =partialpartial tl(raizxln tr) =raizx;1t =raizxt
E a segunda derivada em t:
fyy =partialpartial t!l(raizxtr) =raizx;(-t^-2) =-raizxt^2

Passo 4

Derivadas mistas fxy e fyx:
fxy =partialpartial t!l(ln t2raizxr) =12raizx;1t =12raizx,t,
fyx =partialpartial x!l(raizxtr) =1t;12x^-1/2 =12raizx,t
Note que fxy=fyx, conforme esperado por Clairaut.

Resposta

fx=ln t2raizx
fy=raizxt
fxx=-ln t4,x^3/2
fyy=-raizxt^2
fxy=12raizx,t
fyx=12raizx,t

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