1. \cos x=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\cos x = x^3
ou seja, encontrar todos os x\in\mathbb{R} que fazem as duas funções y=\cos x e y=x^3 se igualarem. Vamos usar análise de sinais e o Teorema do Valor Intermediário para mostrar quantas soluções reais existem, e depois aproximar numericamente a (única) solução.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \cos x - x^3.
Note que f é contínua em \mathbb{R}. Calculamos alguns valores para ver onde ela muda de sinal:
f(0) = \cos(0) - 0^3 = 1,
f(1) = \cos(1) - 1^3 \approx 0{,}5403 - 1 = -0{,}4597.
Como f(0)>0 e f(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Para x<0, temos x^3<0 e \cos x\in[-1,1], então
f(x) = \cos x - x^3 \ge -1 - x^3.
Mas se x<0 e muito negativo, -x^3 é grande e positivo, de modo que f(x)>0 para todo x\le 0. De fato, verificações numéricas rápidas em valores negativos mostram f(x)>0. Logo, não há nenhuma raiz em (-\infty,0).

Passo 4

Já para x>1, a parcela -x^3 domina e torna f(x)<0 para todo x\ge1. Portanto, existe exatamente uma única raiz real, que está no intervalo (0,1).

Passo 5

Para aproximar numericamente essa raiz, podemos usar o método da bisseção em [0,1].
  1. Tome a=0, b=1.
  2. Avalie f(a)>0, f(b)<0.
  3. Calcule m=(a+b)/2 e avalie f(m).
  4. Escolha o subintervalo onde f muda de sinal e repita até atingir a precisão desejada.
Com algumas iterações chega-se a
x \approx 0{,}8655.

Resposta

A equação \cos x = x^3 tem exatamente uma solução real, dada aproximadamente por
x \approx 0{,}8655.

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