Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
9.
é ímpar
9.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função
que seja ímpar, satisfaça
e cujo gráfico possamos esboçar. O conteúdo aqui é construção de funções racionais com assimptotas verticais e comportamento no infinito, respeitando simetria ímpar.
Passo 2
Para garantir que
seja ímpar, escrevemos
com
função ímpar (polinômio de grau ímpar) e
função par (para que
). Assim
.
Passo 3
Para ter uma assíntota vertical em
com
de ambos os lados, basta que:
-
e seja de ordem par (para que mude de sinal de forma a ficar sempre positivo perto de ), -
.
Escolhemos
Então
Passo 4
Verificações:
-
é ímpar porque é ímpar e é par. -
pois o numerador é zero em . - Ao aproximar
, o numerador tende a e o denominador a , logo
- Para
,
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
- Há assíntota vertical em
(e, por ímpar, também em ), aproximando-se de ao chegar em . - Como
, para a curva desce indefinidamente. - Por ímpar, o ramo para
é o simétrico de origem do ramo para . - Passa em
.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz tudo é
cujo gráfico tem assíntotas verticais em
, passa pela origem, tende a
quando
e também quando
, e é ímpar.