Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
9. f(0)=0, \quad \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty, f é ímpar

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f que seja ímpar, satisfaça
f(0)=0,\quad \lim_{x\to1}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty,
e cujo gráfico possamos esboçar. O conteúdo aqui é construção de funções racionais com assimptotas verticais e comportamento no infinito, respeitando simetria ímpar.

Passo 2

Para garantir que f seja ímpar, escrevemos f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com g função ímpar (polinômio de grau ímpar) e h função par (para que h(-x)=h(x)). Assim f(-x)=g(-x)/h(-x)=-g(x)/h(x)=-f(x).

Passo 3

Para ter uma assíntota vertical em x=1 com \lim_{x\to1}f(x)=-\infty de ambos os lados, basta que:
  1. h(1)=0 e seja de ordem par (para que h(x) mude de sinal de forma a ficar sempre positivo perto de 1),
  2. g(1)<0.
    Escolhemos
h(x)=(x^2-1)^2, \quad g(x)=-x^5.
Então
f(x)=\frac{-x^5}{(x^2-1)^2}.

Passo 4

Verificações:
  1. f é ímpar porque -x^5 é ímpar e (x^2-1)^2 é par.
  2. f(0)=0 pois o numerador é zero em x=0.
  3. Ao aproximar x\to1, o numerador tende a -1 e o denominador a 0^+, logo
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\frac{-x^5}{(x^2-1)^2} =-\infty.
  1. Para x\to\infty,
f(x)\sim\frac{-x^5}{x^4}=-x\to -\infty.

Passo 5

Esboço do gráfico de f(x)=\dfrac{-x^5}{(x^2-1)^2}:
  • Há assíntota vertical em x=1 (e, por ímpar, também em x=-1), aproximando-se de -\infty ao chegar em x=1.
  • Como \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty, para x\gg1 a curva desce indefinidamente.
  • Por ímpar, o ramo para x<0 é o simétrico de origem do ramo para x>0.
  • Passa em (0,0).

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz tudo é
f(x)=\frac{-x^5}{(x^2-1)^2},
cujo gráfico tem assíntotas verticais em x=\pm1, passa pela origem, tende a -\infty quando x\to1 e também quando x\to\infty, e é ímpar.

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